Determinar se são primos os seguintes inteiros:
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Passo 1
O enunciado dá um número inteiro:
. A pergunta é: determinar se
é primo.
Informações relevantes fornecidas: apenas o inteiro . O objetivo final é dizer se ele é primo; se não for, apresentar uma fatoração (ou fatores) que mostrem que é composto.
Informações relevantes fornecidas: apenas o inteiro
Passo 2
Qual método vamos usar? Vou usar divisão por tentativa (trial division) testando primos até a raiz quadrada de
. Por que isso basta? Porque se
é composto, existe uma fatoração
com
. Então
(caso contrário teríamos
), logo algum fator primo de
é
. Portanto basta testar todos os primos menores ou iguais a
. Esta é a ideia básica e prática para provas sem calculadora.
Passo 3
Calcular (ou estimar) a raiz quadrada de
. Observações simples:
Como
, então
está entre
e
. Logo só precisamos testar primos menores ou iguais a
. Os primos nesse intervalo são
Passo 4
Teste de divisibilidade por
. Um número é divisível por
se e somente se seu último dígito for
ou
. O último dígito de
é
, logo
Passo 5
Teste de divisibilidade por
. Regra rápida: um número é divisível por
se a soma dos dígitos for múltipla de
. Soma dos dígitos de
:
Como
não é múltiplo de
, concluímos
Passo 6
Teste de divisibilidade por
. Um número é divisível por
se termina em
ou
.
termina em
, portanto
Passo 7
Teste de divisibilidade por
. Aqui faço uma divisão inteira rápida:
. Subtraindo,
ou seja, sobra resto
. Logo
Passo 8
Teste de divisibilidade por
. Regra do
: calcule a soma alternada dos dígitos (primeiro menos segundo mais terceiro …); se o resultado for múltiplo de
(incluindo
), o número é divisível por
. Para
a soma alternada é
Como
é múltiplo de
, concluímos que
divide
. Portanto
é composto. Quando encontrar um divisor não é preciso testar os primos maiores que esse para concluir que o número não é primo, mas é útil obter a fatoração completa.
Passo 9
Obter o quociente exato com
. Como
divide
, calculamos
porque
. Assim
Passo 10
Verificar se o outro fator
é primo (para dar a fatoração completa). Estimativa da raiz:
então
está entre
e
. Basta testar primos
, ou seja
.
-
não é par, logo não divisível por . - Soma dos dígitos
não é múltiplo de , logo não divisível por . - Último dígito não é
nem , então não é divisível por .
Como nenhum primo
divide
, concluímos que
é primo.
Passo 11
Conclusão final:
é composto e fatora-se como produto de primos
e
. Então
não é primo.