Determinar se são primos os seguintes inteiros:
473

Passo 1

O enunciado dá um número inteiro: 473. A pergunta é: determinar se 473 é primo.
Informações relevantes fornecidas: apenas o inteiro 473. O objetivo final é dizer se ele é primo; se não for, apresentar uma fatoração (ou fatores) que mostrem que é composto.

Passo 2

Qual método vamos usar? Vou usar divisão por tentativa (trial division) testando primos até a raiz quadrada de 473. Por que isso basta? Porque se n é composto, existe uma fatoração n=a\cdot b com 1<a\le b. Então a\le\sqrt{n} (caso contrário teríamos a>b), logo algum fator primo de n é \le\sqrt{n}. Portanto basta testar todos os primos menores ou iguais a \sqrt{n}. Esta é a ideia básica e prática para provas sem calculadora.

Passo 3

Calcular (ou estimar) a raiz quadrada de 473. Observações simples:
21^2 = 441,\qquad 22^2 = 484.
Como 441<473<484, então \sqrt{473} está entre 21 e 22. Logo só precisamos testar primos menores ou iguais a 21. Os primos nesse intervalo são
2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19.

Passo 4

Teste de divisibilidade por 2. Um número é divisível por 2 se e somente se seu último dígito for 0,2,4,6 ou 8. O último dígito de 473 é 3, logo
473\\ \text{não é divisível por}\\\ 2.ãéí

Passo 5

Teste de divisibilidade por 3. Regra rápida: um número é divisível por 3 se a soma dos dígitos for múltipla de 3. Soma dos dígitos de 473:
4+7+3=14.
Como 14 não é múltiplo de 3, concluímos
473\\ \text{não é divisível por}\\\ 3.ãéí

Passo 6

Teste de divisibilidade por 5. Um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. 473 termina em 3, portanto
473\\ \text{não é divisível por}\\\ 5.ãéí

Passo 7

Teste de divisibilidade por 7. Aqui faço uma divisão inteira rápida: 7\cdot 67 = 469. Subtraindo,
473-469=4,
ou seja, sobra resto 4. Logo
473\\ \text{não é divisível por}\\\ 7.ãéí

Passo 8

Teste de divisibilidade por 11. Regra do 11: calcule a soma alternada dos dígitos (primeiro menos segundo mais terceiro …); se o resultado for múltiplo de 11 (incluindo 0), o número é divisível por 11. Para 473 a soma alternada é
4-7+3=0.
Como 0 é múltiplo de 11, concluímos que 11 divide 473. Portanto 473 é composto. Quando encontrar um divisor não é preciso testar os primos maiores que esse para concluir que o número não é primo, mas é útil obter a fatoração completa.

Passo 9

Obter o quociente exato com 11. Como 11 divide 473, calculamos
473\div 11 = 43,
porque 11\cdot 43 = 473. Assim
473 = 11\cdot 43.

Passo 10

Verificar se o outro fator 43 é primo (para dar a fatoração completa). Estimativa da raiz:
6^2=36,\qquad 7^2=49,
então \sqrt{43} está entre 6 e 7. Basta testar primos \le 6, ou seja 2,3,5.
  • 43 não é par, logo não divisível por 2.
  • Soma dos dígitos 4+3=7 não é múltiplo de 3, logo não divisível por 3.
  • Último dígito não é 0 nem 5, então não é divisível por 5.
Como nenhum primo \le 6 divide 43, concluímos que 43 é primo.

Passo 11

Conclusão final: 473 é composto e fatora-se como produto de primos 11 e 43. Então 473 não é primo.

Resposta

473 não é primo: 473 = 11\cdot 43.

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