Exercício 1 Achar a decomposição canônica dos inteiros
7240 .
7240 .
Passo 1
O enunciado pede: achar a decomposição canônica do inteiro
.
Informação dada: apenas o número inteiro .
Objetivo final: escrever como produto de números primos elevados a potências (forma única, chamada de decomposição canônica).
Informação dada: apenas o número inteiro
Objetivo final: escrever
Passo 2
O que é decomposição canônica (rapidinho e sem mistério).
- Um número inteiro maior que
pode ser escrito como produto de primos: , onde cada é primo e é inteiro positivo. - Essa escrita é única (ordem à parte).
Exemplo curto para fixar:.
Passo 3
Método que vou usar (algoritmo prático): divisão sucessiva por primos (chamado “trial division”):
- Testar divisibilidade por
e sempre dividir enquanto o número for divisível pelo primo testado. - Quando o quociente ficar
ou primo, terminamos. - Podemos parar de testar primos maiores que
, onde é o resto atual, pois se fosse composto teria um fator .
Passo 4
Começo testando divisibilidade por
(número par?).
- Observação: um número é divisível por
se termina em dígito par ( ). Como termina em , é divisível por .
Faço a divisão:
Passo 5
Continuo dividindo por
enquanto for par:
Agora o quociente é
, que é ímpar (não divisível por
). Portanto já extraí três fatores
:
Passo 6
Agora fatoro
. Testes rápidos:
- Divisibilidade por
: soma dos dígitos ; como , então . Não é divisível por . - Divisibilidade por
: um número termina em ou se for divisível por . Como termina em , é divisível por . Faço a divisão:
Substituindo:
Passo 7
Verifico agora se
é primo. Método prático: testar divisibilidade por primos menores ou iguais a
.
-
. Logo testar primos .
Teste rápido:
não é par ( ); soma dos dígitos não múltiplo de ( ); não termina em ou ( ).
Divisões restantes:
Nenhum primo
divide
, portanto
é primo.
Passo 8
Concluo a decomposição canônica: todos os fatores são primos e já extraí seus expoentes. Ordenando por primos crescentes fica
Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar o procedimento com outro número parecido para treinar.