Exercício 1 Achar a decomposição canônica dos inteiros
7240 .

Passo 1

O enunciado pede: achar a decomposição canônica do inteiro \,7240\,.
Informação dada: apenas o número inteiro \,7240\,.
Objetivo final: escrever \,7240\, como produto de números primos elevados a potências (forma única, chamada de decomposição canônica).

Passo 2

O que é decomposição canônica (rapidinho e sem mistério).
  • Um número inteiro maior que \,1\, pode ser escrito como produto de primos: \,n=\prod p_i^{\alpha_i}\,, onde cada p_i é primo e \alpha_i é inteiro positivo.
  • Essa escrita é única (ordem à parte).
    Exemplo curto para fixar: \,12=2^2\cdot3\,.

Passo 3

Método que vou usar (algoritmo prático): divisão sucessiva por primos (chamado “trial division”):
  • Testar divisibilidade por \,2,3,5,7,11,\dots e sempre dividir enquanto o número for divisível pelo primo testado.
  • Quando o quociente ficar \,1\, ou primo, terminamos.
  • Podemos parar de testar primos maiores que \sqrt{r}, onde r é o resto atual, pois se r fosse composto teria um fator \le\sqrt{r}.

Passo 4

Começo testando divisibilidade por \,2\, (número par?).
  • Observação: um número é divisível por \,2\, se termina em dígito par ( 0,2,4,6,8). Como \,7240\, termina em \,0\,, é divisível por \,2.
    Faço a divisão:
7240 = 2 \cdot 3620.

Passo 5

Continuo dividindo por \,2\, enquanto for par:
3620 = 2 \cdot 1810,
1810 = 2 \cdot 905.
Agora o quociente é \,905\,, que é ímpar (não divisível por \,2). Portanto já extraí três fatores \,2:
7240 = 2^3 \cdot 905.

Passo 6

Agora fatoro \,905\,. Testes rápidos:
  • Divisibilidade por \,3\,: soma dos dígitos 9+0+5=14; como \,14\not\equiv0\pmod{3}, então \,905\not\equiv0\pmod{3}. Não é divisível por \,3.
  • Divisibilidade por \,5\,: um número termina em \,0 ou \,5 se for divisível por \,5. Como \,905\, termina em \,5, é divisível por \,5. Faço a divisão:
905 = 5 \cdot 181.
Substituindo:
7240 = 2^3 \cdot 5 \cdot 181.

Passo 7

Verifico agora se \,181\, é primo. Método prático: testar divisibilidade por primos menores ou iguais a \sqrt{181}.
  • \sqrt{181}\approx 13{,}45. Logo testar primos \,2,3,5,7,11,13\,.
    Teste rápido:
    \,181 não é par ( \not\equiv0\pmod{2}); soma dos dígitos 1+8+1=10 não múltiplo de 3 ( \not\equiv0\pmod{3}); não termina em 0 ou 5 ( \not\equiv0\pmod{5}).
    Divisões restantes:
181\div7=25\text{ com resto }6\quad(\text{logo não divisível por }7),ãí
181\div11=16\text{ com resto }5\quad(\text{logo não divisível por }11),ãí
181\div13=13\text{ com resto }12\quad(\text{logo não divisível por }13).ãí
Nenhum primo \le\sqrt{181} divide \,181, portanto \,181\, é primo.

Passo 8

Concluo a decomposição canônica: todos os fatores são primos e já extraí seus expoentes. Ordenando por primos crescentes fica
7240 = 2^3 \cdot 5 \cdot 181.
Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar o procedimento com outro número parecido para treinar.

Resposta

7240 = 2^3 \cdot 5 \cdot 181

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