Mostre que, se
é contínua, então
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes:
-
é contínua em , portanto é integrável em . - A igualdade a provar envolve integrais definidas no mesmo intervalo
, uma delas com a função composta .
A partir daqui vamos transformar uma das integrais (a da direita) por mudança de variável para mostrar que ela é igual à da esquerda.
Passo 2
Conceito que vou usar (explicado de forma simples): mudança de variável em integrais definidas. Se
é uma função diferenciável e
contínua, então ao fazer a substituição
tem-se que
. Em integrais definidas também é preciso ajustar os limites: quando
varia de
até
, a nova variável
varia de
até
. No nosso caso escolheremos
, que é diferenciável com
. Por isso a mudança de variável será simples e não exige técnicas avançadas. Observação: a continuidade de
garante que todas as integrais aqui fazem sentido.
Passo 3
Aplicando a mudança de variável à integral
. Faço a substituição
Agora calculo
e os novos limites:
Quando
temos
.
Quando temos
.
Quando
Passo 4
Reescrevo a integral usando
. A integral original é
Com a substituição
e
os limites trocam de
para
, ficando
Passo 5
Simplifico o sinal e troco os limites para voltar a uma integral com os limites em ordem crescente. Usando
, obtenho
Finalmente, renomeando a variável
de volta para
(isso não altera o valor da integral), resulta
Passo 6
Exemplo para fixar a ideia: se
, então
confirmando a igualdade na prática. Isso ajuda a ver concretamente como a troca
preserva a área sob a curva no intervalo
.