Mostre que, se f é contínua, então
\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1} f(1-x) d x

Passo 1

O enunciado dá que f é contínua e pede para mostrar a igualdade
\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx.
Informações relevantes:
  • f é contínua em [0,1], portanto é integrável em [0,1].
  • A igualdade a provar envolve integrais definidas no mesmo intervalo [0,1], uma delas com a função composta f(1-x).
    A partir daqui vamos transformar uma das integrais (a da direita) por mudança de variável para mostrar que ela é igual à da esquerda.

Passo 2

Conceito que vou usar (explicado de forma simples): mudança de variável em integrais definidas. Se u=g(x) é uma função diferenciável e g' contínua, então ao fazer a substituição u=g(x) tem-se que du=g'(x)\,dx. Em integrais definidas também é preciso ajustar os limites: quando x varia de a até b, a nova variável u=g(x) varia de g(a) até g(b). No nosso caso escolheremos g(x)=1-x, que é diferenciável com g'(x)=-1. Por isso a mudança de variável será simples e não exige técnicas avançadas. Observação: a continuidade de f garante que todas as integrais aqui fazem sentido.

Passo 3

Aplicando a mudança de variável à integral \displaystyle \int_{0}^{1} f(1-x)\,dx. Faço a substituição
u=1-x.
Agora calculo du e os novos limites:
du=-dx.
Quando x=0 temos u=1-0=1.
Quando x=1 temos u=1-1=0.

Passo 4

Reescrevo a integral usando u. A integral original é
\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx.
Com a substituição u=1-x e dx=-du os limites trocam de x para u, ficando
\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx = \int_{u=1}^{u=0} f(u)\,(-du).

Passo 5

Simplifico o sinal e troco os limites para voltar a uma integral com os limites em ordem crescente. Usando \int_{1}^{0} \varphi(u)\,(-du)=\int_{0}^{1}\varphi(u)\,du, obtenho
\int_{u=1}^{u=0} f(u)\,(-du)=\int_{0}^{1} f(u)\,du.
Finalmente, renomeando a variável u de volta para x (isso não altera o valor da integral), resulta
\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.

Passo 6

Exemplo para fixar a ideia: se f(x)=x, então
\int_{0}^{1} x\,dx=\tfrac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad \int_{0}^{1} f(1-x)\,dx=\int_{0}^{1} (1-x)\,dx=\left[x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
confirmando a igualdade na prática. Isso ajuda a ver concretamente como a troca x\mapsto 1-x preserva a área sob a curva no intervalo [0,1].

Resposta

\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx

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