Determinar se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(a) Se sum an é convergente então an 0.
(b) Se an 0 então sum an é convergente.
(c) Toda sequência de termos positivos que possui somas parciais limitadas é convergente.
(d) Se são retirados de uma série os 100 primeiros termos então seu carater não varia.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve definições de convergência de série, relação entre o termo geral e a soma, contra-exemplos, a convergência de séries de termos positivos e o efeito de alterar um número finito de termos. Vamos usar:
  1. O critério necessário de convergência de séries ( sum an converge ⇒ anto0).
  2. Contra-exemplo da série harmônica.
  3. Teorema da convergência monótona (séries de termos não negativos com somas parciais limitadas convergem).
  4. O fato de que remover um número finito de termos não altera o caráter de convergência de uma série.

Passo 2

Para (a), se sum an converge, as somas parciais
Sn = sumk=1^n ak
têm limite finito S. Então
an = Sn - Sn-1e, como Snto S e Sn-1to S,
segue que
anto 0
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), a condição anto0 é necessária mas não suficiente. Um contra-exemplo clássico é a série harmônica:
an = 1n, anto0,
mas
sumn=1^infty1n
é divergente. Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Para (c), considere uma sequência de termos não negativos ( an>=0) e suas somas parciais
Sn = sumk=1^n ak
Como cada an>=0, a sequência (Sn) é monótona não decrescente. Se existe M tal que Sn<= M para todo n, então (Sn) é monótona e limitada, logo converge por Teorema da Convergência Monótona. Assim, (c) é verdadeira.

Passo 5

Para (d), suponha que sumn=1^inftyan converge (ou diverge). Se retiramos os 100 primeiros termos, obtemos a série
sumn=101^inftyan
A convergência ou divergência depende apenas do comportamento do “cauda” infinita e não de um número finito de termos iniciais. Logo, o caráter da série não muda, e (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira

Exercícios relacionados