Determinar se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(a) Se
é convergente então
.
(b) Se
então
é convergente.
(c) Toda sequência de termos positivos que possui somas parciais limitadas é convergente.
(d) Se são retirados de uma série os 100 primeiros termos então seu carater não varia.
(a) Se
(b) Se
(c) Toda sequência de termos positivos que possui somas parciais limitadas é convergente.
(d) Se são retirados de uma série os 100 primeiros termos então seu carater não varia.
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve definições de convergência de série, relação entre o termo geral e a soma, contra-exemplos, a convergência de séries de termos positivos e o efeito de alterar um número finito de termos. Vamos usar:
- O critério necessário de convergência de séries (
converge ⇒ ). - Contra-exemplo da série harmônica.
- Teorema da convergência monótona (séries de termos não negativos com somas parciais limitadas convergem).
- O fato de que remover um número finito de termos não altera o caráter de convergência de uma série.
Passo 2
Para (a), se
converge, as somas parciais
têm limite finito
. Então
segue que
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b), a condição
é necessária mas não suficiente. Um contra-exemplo clássico é a série harmônica:
mas
é divergente. Portanto, (b) é falsa.
Passo 4
Para (c), considere uma sequência de termos não negativos (
) e suas somas parciais
Como cada
, a sequência
é monótona não decrescente. Se existe
tal que
para todo
, então
é monótona e limitada, logo converge por Teorema da Convergência Monótona. Assim, (c) é verdadeira.
Passo 5
Para (d), suponha que
converge (ou diverge). Se retiramos os 100 primeiros termos, obtemos a série
A convergência ou divergência depende apenas do comportamento do “cauda” infinita e não de um número finito de termos iniciais. Logo, o caráter da série não muda, e (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira