Utilizando um fator integrante conveniente, resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando um fator integrante adequado. Aqui temos uma equação da forma
que não é exata inicialmente, e vamos buscar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Verificamos se existe
tal que a nova equação seja exata. Usamos a condição
que depende apenas de
. Então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtém-se
Agora
logo
e a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Fazendo
,
, obtemos
Portanto
Derivando em
e igualando a
:
Logo
é constante e a solução implícita é