Utilizando um fator integrante conveniente, resolva as equações diferenciais:
(5+y^3 sen x) d x+3 y^2 cos x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(5 + y^3sin x),dx + 3y^2cos x,dy = 0
usando um fator integrante adequado. Aqui temos uma equação da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 que não é exata inicialmente, e vamos buscar um fator integrante que dependa apenas de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 5 + y^3sin x, N(x,y) = 3y^2cos x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3y^2sin x, partial Npartial x = -,3y^2sin x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Verificamos se existe mu(x) tal que a nova equação seja exata. Usamos a condição
partial M/partial y - partial N/partial xN = 3y^2sin x -(-3y^2sin x)3y^2cos x = 6y^2sin x3y^2cos x = 2tan x,
que depende apenas de x. Então
mu(x) = exp!l(integral 2tan x,dxr) = expl(-2ln|cos x|r) = sec^2x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=sec^2x. Obtém-se
M^*(x,y) = sec^2x,(5 + y^3sin x), N^*(x,y) = 3y^2cos x;sec^2x = 3y^2sec x
Agora
partial M^*partial y = 3y^2sin x,sec^2x =3y^2tan x,sec x, partial N^*partial x = 3y^2sec xtan x,
logo partial M^*/partial y = partial N^*/partial x e a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^*(x,y)
Integramos em x:
psi(x,y) = integral l(5sec^2x + y^3sin x,sec^2xr),dx = 5tan x + y^3integral sin xcos^2x,dx + h(y)
Fazendo u=cos x, sin x,dx=-du, obtemos
integral sin xcos^2x,dx = -integral duu^2 = 1u = sec x
Portanto
psi(x,y)=5tan x + y^3sec x + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partial psipartial y = 3y^2sec x + h'(y) stackrel!=3y^2sec x ;Longrightarrow; h'(y)=0
Logo h é constante e a solução implícita é
psi(x,y)=5tan x + y^3sec x = C

Resposta

5tan x + y^3sec x = C

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