(a) Use o criterio da razão para determinar para que valores de a>0 a série sumn=1^infty n^n a^nn! resulta convergente. [ Resp: 0<a<e^-1 ].
(b) Determine a natureza das series:
(i) sumn=1^infty 3 n2^n,
(ii) sumn=1^infty n ln (n)3^n.

Passo 1

O enunciado pede (a) usar o critério da razão para determinar para quais a>0 a série
sumn=1^infty n^na^nn!
é convergente, e (b) decidir a natureza (convergente ou divergente) das séries
sumn=1^infty3n2^n e sumn=1^inftynln(n)3^n
Vamos aplicar o critério da razão em cada caso, lembrando que se
L = limntoinfty l|un+1/unr|
e L<1 então a série sum un converge absolutamente, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Para a série de (a), seja
un = n^na^nn!
Calculamos
un+1un = (n+1)^,n+1a^,n+1/(n+1)!n^na^n/n! = a;(n+1)^,n+1(n+1),n^n = a,gl(1+1ngr)^n
Tomando o limite quando ntoinfty, como l(1+tfrac1nr)^nto e, temos
L = limntoinftyun+1un = a,e

Passo 3

Pelo critério da razão, a série converge se e somente se L<1, ou seja
a,e < 1 Long<=ftrightarrow a < e^-1
Como a>0, a condição de convergência é
0 < a < e^-1

Passo 4

Para a série de (b)(i), seja
un = 3n2^n
Calculamos
un+1un = 3(n+1)/2^,n+13n/2^n = n+12n ;xrightarrow[ntoinfty]; 12
Como o limite L=tfrac12<1, conclui-se que a série converge absolutamente.

Passo 5

Para a série de (b)(ii), seja
un = nln(n)3^n
Calculamos
un+1un = (n+1)ln(n+1)/3^,n+1nln(n)/3^n = n+1n,ln(n+1)ln(n);13 ;xrightarrow[ntoinfty]; 13
Como L=tfrac13<1, essa série também converge absolutamente.

Resposta

(a) A série converge se e somente se 0<a<e^-1.
(b)(i) Convergente.
(b)(ii) Convergente.

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