6- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo
.
Solução. As partículas que “tombam” no centro são as que satisfazem a condição
(consultar a
, isto é, para as quais o parâmetro de impacto não ultrapassa o valor
. Donde, a seccão de choque procurada é
Solução. As partículas que “tombam” no centro são as que satisfazem a condição
Passo 1
O enunciado pede para determinar a secção de choque (cross-section) para a “queda” (captura) de partículas que se movem, à grande distância, com velocidade
num campo central dado por
. Informações e perguntas claras:
- Dado:
(constante dada). - Pedido: encontrar a secção de choque
das partículas que são capturadas pelo centro (isto é, que “caem” no centro). - Dados auxiliares que iremos usar (não resolvemos ainda): massa da partícula
, velocidade à infinidade , parâmetro de impacto (impact parameter).
Observação importante (não é solução ainda): para que haja captura o potencial deve ser atrativo na região pequena
. Ao longo da resolução vamos explicitar como tratar o sinal de
.
Passo 2
Conservação da energia e do momento angular na scattering central: explicar e escrever as quantidades conservadas.
- Energia total (por partícula) é conservada. À grande distância onde
e a velocidade é , a energia total é simplesmente a energia cinética inicial:
- O momento angular em torno do centro é conservado (força central não exerce torque). Se
é o parâmetro de impacto (distância de aproximação se não houvesse deflexão), o módulo do momento angular é
Explicação rápida: o momento angular
é
vezes a velocidade tangencial vezes a distância ao eixo; à grande distância a velocidade é praticamente puramente transversa em relação à linha que passa pelo centro, então
.
Passo 3
Redução do movimento a uma equação radial com potencial efetivo — conceito e fórmula.
- Em movimentos centrais pode-se tratar a componente radial como movimento unidimensional com energia efetiva:
onde
é o potencial efetivo que soma o potencial real
e o termo centrífugo devido ao momento angular:
- Interpretação: o termo
atua como uma barreira centrífuga que pode impedir que a partícula alcance . Se essa barreira for suficientemente grande (positiva), a partícula não cai; se a combinação do centrífugo com for negativa e tende a quando , então não há barreira e a partícula cai no centro.
Passo 4
Substituir o potencial específico
e analisar o sinal.
- Para tratar captura é mais claro escrever o potencial como atrativo quando apropriado. Defina
por
com
representando a intensidade do potencial atrativo. Relacionando com o enunciado:
. Ou seja, se o enunciado tinha
, então
e o potencial é atrativo.
- Substituindo em
:
Explicação do comportamento quando
: o comportamento dominante é
. Se
o termo é positivo e existe uma barreira centrífuga
que impede a queda. Se
o termo domina negativamente e
quando
: não há barreira e a partícula pode atingir o centro — captura.
Passo 5
Encontrar a condição de captura em termos do momento angular e do parâmetro de impacto.
- A condição de queda (captura) é
- Usando
(veio do Passo 2), obtemos
- Simplificando (dividindo por
e isolando ):
- Portanto o maior parâmetro de impacto que ainda causa queda é
Interpretação: partículas com parâmetro de impacto
têm momento angular pequeno o suficiente para que o termo atrativo vença a barreira centrífuga e a partícula caia no centro.
Passo 6
Calcular a secção de choque clássica a partir da região de parâmetros de impacto.
- A definição clássica: a secção de choque para captura é a área no plano perpendicular à direção de incidência cujos pontos iniciais levam à captura. Como a simetria é circular, essa área é a área de um círculo de raio
:
- Substituindo
do passo anterior:
Passo 7
Relacionar de volta com a forma do enunciado e comentar o sinal.
- Lembrar que
. Assim em termos do parâmetro dado no enunciado a secção de choque fica
- Observação sobre sinal físico: a expressão é positiva apenas se
, ou seja, , o que corresponde ao potencial atrativo (caso em que realmente ocorre captura). Se (potencial repulsivo) não há queda e a secção de captura é zero.