6- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo U=a / r^{2}.
Solução. As partículas que “tombam” no centro são as que satisfazem a condição 2 \alpha>m \varrho^{2} v_{\infty}^{2} (consultar a (14,11), isto é, para as quais o parâmetro de impacto não ultrapassa o valor \varrho_{\text {max }}=\sqrt{2 \alpha / m v_{\infty}^{2}}. Donde, a seccão de choque procurada é
\sigma=\pi \varrho_{\max }^{2}=\frac{2 \pi \alpha}{m v_{\infty}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a secção de choque (cross-section) para a “queda” (captura) de partículas que se movem, à grande distância, com velocidade v_{\infty} num campo central dado por U=\dfrac{a}{r^{2}}. Informações e perguntas claras:
  • Dado: U=\dfrac{a}{r^{2}} (constante a dada).
  • Pedido: encontrar a secção de choque \sigma das partículas que são capturadas pelo centro (isto é, que “caem” no centro).
  • Dados auxiliares que iremos usar (não resolvemos ainda): massa da partícula m, velocidade à infinidade v_{\infty}, parâmetro de impacto \varrho (impact parameter).
Observação importante (não é solução ainda): para que haja captura o potencial deve ser atrativo na região pequena r. Ao longo da resolução vamos explicitar como tratar o sinal de a.

Passo 2

Conservação da energia e do momento angular na scattering central: explicar e escrever as quantidades conservadas.
  • Energia total (por partícula) é conservada. À grande distância onde U\to0 e a velocidade é v_{\infty}, a energia total é simplesmente a energia cinética inicial:
E=\tfrac{1}{2}m v_{\infty}^{2}.
  • O momento angular em torno do centro é conservado (força central não exerce torque). Se \varrho é o parâmetro de impacto (distância de aproximação se não houvesse deflexão), o módulo do momento angular é
L=m v_{\infty}\varrho.
Explicação rápida: o momento angular L é m vezes a velocidade tangencial vezes a distância ao eixo; à grande distância a velocidade é praticamente puramente transversa em relação à linha que passa pelo centro, então L=m v_{\infty}\varrho.

Passo 3

Redução do movimento a uma equação radial com potencial efetivo — conceito e fórmula.
  • Em movimentos centrais pode-se tratar a componente radial como movimento unidimensional com energia efetiva:
\tfrac{1}{2}m\dot r^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E,
onde U_{\text{eff}}(r) é o potencial efetivo que soma o potencial real U(r) e o termo centrífugo devido ao momento angular:
U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2m r^{2}}+U(r).
  • Interpretação: o termo \dfrac{L^{2}}{2m r^{2}} atua como uma barreira centrífuga que pode impedir que a partícula alcance r=0. Se essa barreira for suficientemente grande (positiva), a partícula não cai; se a combinação do centrífugo com U(r) for negativa e tende a -\infty quando r\to0, então não há barreira e a partícula cai no centro.

Passo 4

Substituir o potencial específico U(r)=a/r^{2} e analisar o sinal.
  • Para tratar captura é mais claro escrever o potencial como atrativo quando apropriado. Defina \alpha por
U(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}},
com \alpha>0 representando a intensidade do potencial atrativo. Relacionando com o enunciado: \alpha=-a. Ou seja, se o enunciado tinha a<0, então \alpha=-a>0 e o potencial é atrativo.
  • Substituindo em U_{\text{eff}}:
U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2m r^{2}}-\frac{\alpha}{r^{2}}=\frac{1}{2m r^{2}}\bigl(L^{2}-2m\alpha\bigr).
Explicação do comportamento quando r\to0: o comportamento dominante é \propto \dfrac{L^{2}-2m\alpha}{r^{2}}. Se L^{2}-2m\alpha>0 o termo é positivo e existe uma barreira centrífuga \to +\infty que impede a queda. Se L^{2}-2m\alpha<0 o termo domina negativamente e U_{\text{eff}}(r)\to -\infty quando r\to0: não há barreira e a partícula pode atingir o centro — captura.

Passo 5

Encontrar a condição de captura em termos do momento angular e do parâmetro de impacto.
  • A condição de queda (captura) é
L^{2}<2m\alpha.
  • Usando L=m v_{\infty}\varrho (veio do Passo 2), obtemos
m^{2}v_{\infty}^{2}\varrho^{2}<2m\alpha.
  • Simplificando (dividindo por m e isolando \varrho^{2}):
\varrho^{2}<\frac{2\alpha}{m v_{\infty}^{2}}.
  • Portanto o maior parâmetro de impacto que ainda causa queda é
\varrho_{\max}=\sqrt{\frac{2\alpha}{m v_{\infty}^{2}}}.
Interpretação: partículas com parâmetro de impacto \varrho\le \varrho_{\max} têm momento angular pequeno o suficiente para que o termo atrativo vença a barreira centrífuga e a partícula caia no centro.

Passo 6

Calcular a secção de choque clássica a partir da região de parâmetros de impacto.
  • A definição clássica: a secção de choque para captura é a área no plano perpendicular à direção de incidência cujos pontos iniciais levam à captura. Como a simetria é circular, essa área é a área de um círculo de raio \varrho_{\max}:
\sigma=\pi \varrho_{\max}^{2}.
  • Substituindo \varrho_{\max}^{2} do passo anterior:
\sigma=\pi\cdot\frac{2\alpha}{m v_{\infty}^{2}}=\frac{2\pi \alpha}{m v_{\infty}^{2}}.

Passo 7

Relacionar de volta com a forma do enunciado e comentar o sinal.
  • Lembrar que \alpha=-a. Assim em termos do parâmetro a dado no enunciado a secção de choque fica
\sigma=-\frac{2\pi a}{m v_{\infty}^{2}}.
  • Observação sobre sinal físico: a expressão é positiva apenas se -a>0, ou seja, a<0, o que corresponde ao potencial atrativo U=a/r^{2} (caso em que realmente ocorre captura). Se a>0 (potencial repulsivo) não há queda e a secção de captura é zero.

Resposta

\displaystyle \sigma=\frac{2\pi \alpha}{m v_{\infty}^{2}} (com \alpha=-a>0; em termos de a: \displaystyle \sigma=-\frac{2\pi a}{m v_{\infty}^{2}}, válido apenas para a<0).

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