Determinar as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de 0: de -1 a 1.
  • A integranda é \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}.
  • A pergunta é: qual é o valor dessa integral definida?

Passo 2

Verificar que a integranda é bem-comportada (para podermos usar propriedades de paridade).
  • A função \operatorname{sen}(x) é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x^{2}+1 é contínua e nunca é zero, pois para todo x temos x^{2}+1\ge 1.
  • Logo a razão \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1} é contínua em [-1,1] e, portanto, integrável. Isso nos autoriza a aplicar argumentos de paridade sem preocupações.

Passo 3

Definição e exemplos de paridade (para lembrar o conceito):
  • Uma função f é par se, para todo x, vale f(-x)=f(x).
    Exemplo: f(x)=x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x, vale f(-x)=-f(x).
    Exemplo: g(x)=x^{3} é ímpar porque (-x)^{3}=-x^{3}.
  • Observação útil: \operatorname{sen}(x) é ímpar (pois \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)) e x^{2}+1 é par (pois (-x)^{2}+1=x^{2}+1).

Passo 4

Determinar a paridade da integranda.
  • Definimos f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}.
  • Calculemos f(-x):
f(-x)=\frac{\operatorname{sen}(-x)}{(-x)^{2}+1}=\frac{-\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}=-f(x).
  • Conclusão: f é uma função ímpar.

Passo 5

Usar a propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico.
  • Teorema (fácil de demonstrar): se f é integrável e ímpar, então, para a>0,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
  • Breve prova por substituição: escrevendo
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx,
na primeira integral fazemos u=-x (então du=-dx) e obtemos \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = -\int_{a}^{0} f(-u)\,du = \int_{0}^{a} f(-u)\,du. Como f é ímpar, f(-u)=-f(u), daí a soma dá zero.
  • Aplicando com a=1 à nossa função f (que já vimos ser ímpar), concluímos que
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}\,dx = 0.

Resposta

\;0\;

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