Determinar as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- O intervalo de integração é simétrico em torno de
: de a . - A integranda é
. - A pergunta é: qual é o valor dessa integral definida?
Passo 2
Verificar que a integranda é bem-comportada (para podermos usar propriedades de paridade).
- A função
é contínua em todo . - A função
é contínua e nunca é zero, pois para todo temos . - Logo a razão
é contínua em e, portanto, integrável. Isso nos autoriza a aplicar argumentos de paridade sem preocupações.
Passo 3
Definição e exemplos de paridade (para lembrar o conceito):
- Uma função
é par se, para todo , vale .
Exemplo:é par porque . - Uma função
é ímpar se, para todo , vale .
Exemplo:é ímpar porque . - Observação útil:
é ímpar (pois ) e é par (pois ).
Passo 4
Determinar a paridade da integranda.
- Definimos
. - Calculemos
:
- Conclusão:
é uma função ímpar.
Passo 5
Usar a propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico.
- Teorema (fácil de demonstrar): se
é integrável e ímpar, então, para ,
- Breve prova por substituição: escrevendo
na primeira integral fazemos
(então
) e obtemos
. Como
é ímpar,
, daí a soma dá zero.
- Aplicando com
à nossa função (que já vimos ser ímpar), concluímos que