Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas: a integranda é .\n
O objetivo é encontrar uma função tal que
, mais a constante de integração
.
Informações dadas: a integranda é
O objetivo é encontrar uma função
Passo 2
Identificação do método: aqui vê-se um composto
e um fator em frente
. Isso sugere a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável ou método do
-substituição), que é a “antiderivada inversa” da regra da cadeia da derivação. A ideia é escolher uma nova variável
igual à parte interna do composto, simplificando a integral.
Passo 3
Fazemos a substituição escolhida: seja
.\n
Agora calculamos a diferencial . Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da potência), obtemos:
Agora calculamos a diferencial
Isso significa que
.
Passo 4
Reescrevemos a integral original usando a relação entre
e
. Temos um
na integral; podemos separar o
e usar
em termos de
:
Usando
e
, obtemos:
Passo 5
Agora integramos em
. Lembra: a primitiva (antiderivada) de
é
, pois
. Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada em
é
.\n
(Aqui fizemos a substituição inversa para expressar a resposta na variável pedida.)
(Aqui fizemos a substituição inversa para expressar a resposta na variável pedida.)
Passo 7
Verificação rápida (controle): derivando
usando a regra da cadeia, temos
que é exatamente a função integranda. A verificação confirma que a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para provas: quando você vê uma função composta
multiplicada por algo que é (ou pode virar)
, pense em
. Às vezes você precisa ajustar constantes (como multiplicar e dividir por
aqui) para fazer o
aparecer; isso é normal e rápido de fazer na prova.