Determinar as seguintes integrais indefinidas:
\int 2 x^{2} \cos \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int 2 x^{2} \cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.\n
Informações dadas: a integranda é 2 x^{2} \cos\!\bigl(x^{3}\bigr).\n
O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=2 x^{2} \cos\!\bigl(x^{3}\bigr), mais a constante de integração C.

Passo 2

Identificação do método: aqui vê-se um composto \cos\!\bigl(x^{3}\bigr) e um fator em frente 2x^{2}. Isso sugere a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável ou método do u-substituição), que é a “antiderivada inversa” da regra da cadeia da derivação. A ideia é escolher uma nova variável u igual à parte interna do composto, simplificando a integral.

Passo 3

Fazemos a substituição escolhida: seja \displaystyle u = x^{3}.\n
Agora calculamos a diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da potência), obtemos:
du = 3x^{2}\,dx.
Isso significa que x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescrevemos a integral original usando a relação entre du e dx. Temos um 2x^{2}\,dx na integral; podemos separar o 2 e usar x^{2}\,dx em termos de du:
\int 2x^{2}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = 2\int x^{2}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Usando x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3}\,du e \cos\!\bigl(x^{3}\bigr)=\cos(u), obtemos:
2\int x^{2}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = 2\int \cos(u)\cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Lembra: a primitiva (antiderivada) de \cos(u) é \sin(u), pois \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto,
\frac{2}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{2}{3}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u = x^{3}. Assim a primitiva encontrada em x é \dfrac{2}{3}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr) + C.\n
(Aqui fizemos a substituição inversa para expressar a resposta na variável pedida.)

Passo 7

Verificação rápida (controle): derivando \dfrac{2}{3}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr) usando a regra da cadeia, temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr)\right) = \frac{2}{3}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2} = 2x^{2}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr),
que é exatamente a função integranda. A verificação confirma que a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para provas: quando você vê uma função composta f(g(x)) multiplicada por algo que é (ou pode virar) g'(x), pense em u=g(x). Às vezes você precisa ajustar constantes (como multiplicar e dividir por 3 aqui) para fazer o du aparecer; isso é normal e rápido de fazer na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr)+C

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