Determinar as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2} \frac{t^{2}+t}{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{t^{2}+t}{t}\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{t^{2}+t}{t},\qquad \text{limites de integração: }t=1\text{ a }t=2.çã

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando por divisão termo a termo. Como em todos os pontos do intervalo [1,2] temos t\neq0, podemos dividir por t:
\frac{t^{2}+t}{t}=\frac{t^{2}}{t}+\frac{t}{t}=t+1.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{2} \frac{t^{2}+t}{t}\,dt=\int_{1}^{2} (t+1)\,dt.

Passo 3

Relembrando as regras básicas que vamos usar (com explicação):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int (f(t)+g(t))\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt.
Isso permite separar \int_{1}^{2}(t+1)\,dt em \int_{1}^{2}t\,dt+\int_{1}^{2}1\,dt.
  • Regra da potência (antiderivada): para todo número real n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. No caso n=1 vale
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
  • Integral de uma constante: para constante a,
\int a\,dt = a\,t + C.
No caso a=1, temos \int 1\,dt = t + C.
Para integrais definidas usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).

Passo 4

Aplicando a linearidade e as regras acima:
\int_{1}^{2}(t+1)\,dt=\int_{1}^{2}t\,dt+\int_{1}^{2}1\,dt.
As antiderivadas são
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2},\qquad \int 1\,dt = t.
Logo uma antiderivada de t+1 é
F(t)=\frac{t^{2}}{2}+t.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos F nos limites:
\int_{1}^{2}(t+1)\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}+t\right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^{2}}{2}+2\right)-\left(\frac{1^{2}}{2}+1\right).

Passo 6

Calculemos as expressões numéricas passo a passo:
\frac{2^{2}}{2}+2=\frac{4}{2}+2=2+2=4,
\frac{1^{2}}{2}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Subtraindo:
4-\frac{3}{2}=\frac{8}{2}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.
Como checagem rápida, podemos derivar F(t)=\frac{t^{2}}{2}+t e obter F'(t)=t+1, que é o integrando simplificado — tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

Exercícios relacionados