Determinar as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
e
, e o integrando é o produto de
por
. A tarefa é obter um número (a área algébrica sob a curva) com justificativa passo a passo.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a substituição simples
. Essa é uma técnica comum quando aparece
— trocar para uma nova variável que elimina a raiz facilita a integral. Explico a técnica: fazemos
, daí
e
. Também transformamos os limites:
Agora substituímos tudo na integral original:
O sinal negativo troca os limites, então
Passo 3
Convertemos
em potência para facilitar integrar:
Multiplicando, o integrando fica
Portanto a integral é
Passo 4
Aplicamos a regra do poder (power rule) para integrar monômios. A fórmula é: para
,
Aqui temos
e
. Calculando as primitivas:
Logo uma primitiva da nossa função é
Passo 5
Agora avaliamos a primitiva nos limites de
a
:
Calculemos:
Então a integral vale
Passo 6
Simplificamos a diferença:
Pronto — chegamos ao valor numérico final. Você conseguiu! Se quiser, dá pra checar grosso modo que o valor é pequeno e positivo, compatível com a forma do integrando no intervalo.