Determinar as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} z \sqrt{1-z} d z

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{1} z\sqrt{1-z}\,dz.
Informações dadas: os limites de integração são 0 e 1, e o integrando é o produto de z por \sqrt{1-z}. A tarefa é obter um número (a área algébrica sob a curva) com justificativa passo a passo.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a substituição simples u=1-z. Essa é uma técnica comum quando aparece \sqrt{1-z} — trocar para uma nova variável que elimina a raiz facilita a integral. Explico a técnica: fazemos u=1-z, daí z=1-u e dz=-du. Também transformamos os limites:
\text{quando } z=0 \Rightarrow u=1,\qquad \text{quando } z=1 \Rightarrow u=0.
Agora substituímos tudo na integral original:
\int_{0}^{1} z\sqrt{1-z}\,dz = \int_{1}^{0} (1-u)\sqrt{u}\,(-du).
O sinal negativo troca os limites, então
\int_{1}^{0} (1-u)\sqrt{u}\,(-du)=\int_{0}^{1} (1-u)\sqrt{u}\,du.

Passo 3

Convertemos \sqrt{u} em potência para facilitar integrar:
\sqrt{u}=u^{1/2}.
Multiplicando, o integrando fica
(1-u)u^{1/2}=u^{1/2}-u^{3/2}.
Portanto a integral é
\int_{0}^{1} \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder (power rule) para integrar monômios. A fórmula é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos n=\tfrac{1}{2} e n=\tfrac{3}{2}. Calculando as primitivas:
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{3/2}\,du=\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}.
Logo uma primitiva da nossa função é
F(u)=\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}.

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du = F(1)-F(0).
Calculemos:
F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}=\frac{2}{3}-\frac{2}{5},
F(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}-\frac{2}{5}\cdot 0^{5/2}=0.
Então a integral vale
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}.

Passo 6

Simplificamos a diferença:
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=2\left(\frac{5-3}{15}\right)=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.
Pronto — chegamos ao valor numérico final. Você conseguiu! Se quiser, dá pra checar grosso modo que o valor é pequeno e positivo, compatível com a forma do integrando no intervalo.

Resposta

\frac{4}{15}

Exercícios relacionados