(2 ptos) Calcule o valor da integral definida
usando uma soma de Riemann com infinitos intervalos. Depois confira se o valor está correto usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral definida
usando uma soma de Riemann com infinitos intervalos e depois conferir o resultado usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Informações dadas: a função é definida no intervalo
. Não há outras restrições.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos montar uma partição de
em
subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo (a largura) é
Escolhemos, por simplicidade, os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo. Assim o
-ésimo ponto de amostragem é
Passo 3
A soma de Riemann com esses pontos é definida por
Substituindo
e
e
, obtemos primeiro
e então cada termo da soma é
Logo a soma total é
Passo 4
Precisamos da fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
Explicação rápida (intuitiva): escrevendo a soma na ordem normal e na ordem inversa e somando termo a termo, cada par soma
. Há
termos, formando
pares, então a soma é
.
Passo 5
Substituindo a fórmula da soma em
obtemos
Escrevendo de forma mais explícita:
Passo 6
A definição da integral como limite de somas de Riemann diz que
Assim
porque
.
Passo 7
Agora conferimos o resultado usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de
. Uma primitiva é
pois
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
O valor conferido é o mesmo que obtivemos pela soma de Riemann.