(2 ptos) Calcule o valor da integral definida \int_{0}^{2} 7 x d x usando uma soma de Riemann com infinitos intervalos. Depois confira se o valor está correto usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} 7x\,dx usando uma soma de Riemann com infinitos intervalos e depois conferir o resultado usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Informações dadas: a função é f(x)=7x definida no intervalo [0,2]. Não há outras restrições.

Passo 2

Vamos montar uma partição de [0,2] em n subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo (a largura) é
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Escolhemos, por simplicidade, os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo. Assim o k-ésimo ponto de amostragem é
x_k = 0 + k\Delta x = \frac{2k}{n},\qquad k=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann com esses pontos é definida por
S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.
Substituindo f(x_k)=7x_k e x_k=\dfrac{2k}{n} e \Delta x=\dfrac{2}{n}, obtemos primeiro
f(x_k)=7\cdot\frac{2k}{n}=\frac{14k}{n},
e então cada termo da soma é
f(x_k)\,\Delta x = \frac{14k}{n}\cdot\frac{2}{n}=\frac{28k}{n^2}.
Logo a soma total é
S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{28k}{n^2}=\frac{28}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 4

Precisamos da fórmula da soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n}k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.
Explicação rápida (intuitiva): escrevendo a soma na ordem normal e na ordem inversa e somando termo a termo, cada par soma n+1. Há n termos, formando n/2 pares, então a soma é \dfrac{n}{2}(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Passo 5

Substituindo a fórmula da soma em S_n obtemos
S_n = \frac{28}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{28}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{n^2} = 14\cdot\frac{n+1}{n}.
Escrevendo de forma mais explícita:
S_n = 14\left(1+\frac{1}{n}\right).

Passo 6

A definição da integral como limite de somas de Riemann diz que
\int_{0}^{2}7x\,dx = \lim_{n\to\infty} S_n.
Assim
\int_{0}^{2}7x\,dx = \lim_{n\to\infty} 14\left(1+\frac{1}{n}\right) = 14\cdot\left(1+0\right)=14,
porque \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 7

Agora conferimos o resultado usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de f(x)=7x. Uma primitiva é
F(x)=\frac{7}{2}x^{2},
pois F'(x)=\dfrac{7}{2}\cdot 2x = 7x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}7x\,dx = F(2)-F(0) = \frac{7}{2}\cdot 2^{2} - \frac{7}{2}\cdot 0^{2} = \frac{7}{2}\cdot 4 = 14.
O valor conferido é o mesmo que obtivemos pela soma de Riemann.

Resposta

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