Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Determinar a seguinte integral por partes:
Determinar a seguinte integral por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
ou seja, integrar a função que é o produto de
por
. Não há outras condições dadas; queremos uma primitiva explícita dessa função.
Passo 2
Vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Essa fórmula vem da regra do produto da derivação:
. Integrando ambos os lados e rearranjando obtém-se a fórmula acima. Na aplicação, escolhemos
como uma função cuja derivada seja mais simples e
como a parte que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Escolhemos
Agora calculamos
e
.
Derivada de
: pela regra da cadeia,
portanto
Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Simplificamos o integrando restante:
logo
Passo 6
Calculamos a integral simples:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a primitiva obtida
temos
que é justamente o integrando, confirmando que a primitiva está correta.