Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Determinar a seguinte integral por partes:
\int x \ln 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \ln 4 x \, d x
ou seja, integrar a função que é o produto de x por \ln(4x). Não há outras condições dadas; queremos uma primitiva explícita dessa função.

Passo 2

Vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Essa fórmula vem da regra do produto da derivação: \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'. Integrando ambos os lados e rearranjando obtém-se a fórmula acima. Na aplicação, escolhemos u como uma função cuja derivada seja mais simples e dv como a parte que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Escolhemos
u=\ln(4x),\qquad dv = x\,dx.
Agora calculamos du e v.
Derivada de u: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(4x)=\frac{1}{4x}\cdot 4=\frac{1}{x},
portanto
du=\frac{1}{x}\,dx.
Integral de dv:
v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(4x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo os valores encontrados:
\int x\ln(4x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(4x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplificamos o integrando restante:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{2},
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\int x\ln(4x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(4x) - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral simples:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Portanto
\int x\ln(4x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(4x) - \frac{x^{2}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a primitiva obtida
F(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln(4x)-\frac{x^{2}}{4}
temos
F'(x)=x\ln(4x)+\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{x}{2}=x\ln(4x)+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln(4x),
que é justamente o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}\ln(4x)-\dfrac{x^{2}}{4}+C

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