Suponha que estudos mostram que a taxa de crescimento populacional de uma cidade é:
P^{\prime}(t)=400+50 t
(Habitantes por ano, onde t é o número de anos a partir do momento inicial t=0 ). Encontrar a função que descreve a população P(t).

Passo 1

O que o enunciado dá:
\;P'(t)=400+50t\; (taxa de crescimento populacional em habitantes por ano, com t em anos e t=0 no instante inicial).
O que o enunciado pede:
Encontrar a função \;P(t)\; que descreve a população ao longo do tempo.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar e com jeitinho): para passar de \;P'(t)\; para \;P(t)\; usamos a operação inversa da derivada, chamada integral (ou antiderivada). Integral significa: achar uma função cuja derivada é a dada. As regras básicas que vamos usar:
\int a\,dt = a t + C
quando a é constante, e
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C\qquad(n\neq -1),
onde C é a constante de integração (aparece porque derivadas “eliminam” constantes). Aqui, t é a variável (anos) e C será um número que ajusta a população inicial.
Exemplos rápidos para fixar:
\int 3\,dt = 3t + C,
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} + C.

Passo 3

Aplicando a integral termo a termo em \;P'(t)=400+50t\;:
P(t)=\int (400+50t)\,dt = \int 400\,dt + \int 50t\,dt.
Agora calcule cada integral:
\int 400\,dt = 400t + C_1,
\int 50t\,dt = 50\cdot\frac{t^{2}}{2} + C_2 = 25t^{2} + C_2.
Somando e juntando as constantes ( C_1+C_2 dá uma constante única C):
P(t)=400t + 25t^{2} + C.

Passo 4

Interpretação da constante C: para saber o valor numérico de C precisamos da população inicial \;P(0)\; (o enunciado não deu esse valor). Se quisermos expressar C em função de \;P(0)\;, basta avaliar em t=0:
P(0)=400\cdot 0 + 25\cdot 0^{2} + C \implies C = P(0).
Portanto a solução geral pode ser escrita de forma conveniente como
P(t)=25t^{2}+400t+P(0).

Passo 5

Exemplo numérico (só para ver como usar): se soubermos que a população inicial é \;P(0)=10000\; habitantes, então
P(t)=25t^{2}+400t+10000.
Observação final: as unidades de P(t) são habitantes; o termo 25t^{2} cresce quadraticamente no tempo, o termo 400t cresce linearmente, e P(0) é o deslocamento vertical que fixa a população no instante inicial.

Resposta

P(t)=25t^{2}+400t+C
P(t)=25t^{2}+400t+P(0)

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