Suponha que estudos mostram que a taxa de crescimento populacional de uma cidade é:
(Habitantes por ano, onde
é o número de anos a partir do momento inicial
). Encontrar a função que descreve a população
.
Passo 1
O que o enunciado dá:
(taxa de crescimento populacional em habitantes por ano, com
em anos e
no instante inicial).
O que o enunciado pede:
Encontrar a função que descreve a população ao longo do tempo.
Encontrar a função
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar e com jeitinho): para passar de
para
usamos a operação inversa da derivada, chamada integral (ou antiderivada). Integral significa: achar uma função cuja derivada é a dada. As regras básicas que vamos usar:
quando
é constante, e
onde
é a constante de integração (aparece porque derivadas “eliminam” constantes). Aqui,
é a variável (anos) e
será um número que ajusta a população inicial.
Exemplos rápidos para fixar:
Passo 3
Aplicando a integral termo a termo em
:
Agora calcule cada integral:
Somando e juntando as constantes (
dá uma constante única
):
Passo 4
Interpretação da constante
: para saber o valor numérico de
precisamos da população inicial
(o enunciado não deu esse valor). Se quisermos expressar
em função de
, basta avaliar em
:
Portanto a solução geral pode ser escrita de forma conveniente como
Passo 5
Exemplo numérico (só para ver como usar): se soubermos que a população inicial é
habitantes, então
Observação final: as unidades de
são habitantes; o termo
cresce quadraticamente no tempo, o termo
cresce linearmente, e
é o deslocamento vertical que fixa a população no instante inicial.