Determinar as seguintes integrais indefinidas:
\int(2 x^{2}+x^{\frac{1}{2}}) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int(2x^{2}+x^{\tfrac{1}{2}})\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a integranda é }2x^{2}+x^{\tfrac{1}{2}}.é
Não há valores numéricos a determinar além da constante de integração que aparece nas integrais indefinidas.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que são essenciais e muito úteis na prova.
Primeira propriedade (linearidade): a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Segunda propriedade (constante multiplicativa): uma constante pode sair da integral. Ou seja,
\int c\cdot f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx,
onde c é uma constante.
Aplicando isso ao nosso caso, podemos separar:
\int(2x^{2}+x^{\tfrac{1}{2}})\,dx=\int 2x^{2}\,dx+\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx.

Passo 3

Agora a regra principal que vamos usar para cada termo: a regra da potência para antiderivadas.
Regra da potência:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui n é o expoente de x, x^{n} é a função a ser integrada, e C é a constante de integração. A regra diz: acrescenta-se 1 ao expoente e divide-se pelo novo expoente.
Exemplo rápido (fora do exercício): \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \int 2x^{2}\,dx.
Primeiro fatoramos a constante 2:
\int 2x^{2}\,dx=2\int x^{2}\,dx.
Agora usamos a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
Logo,
2\int x^{2}\,dx=2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 5

Agora integramos o segundo termo \int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx.
Aqui o expoente é n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra da potência:
\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{1}{2}+1}}{\tfrac{1}{2}+1}+C=\frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}}+C.
Dividir por \tfrac{3}{2} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{2}{3}, portanto
\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx=\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos (lembrando que em integrais indefinidas juntamos as constantes em uma única constante C):
\int(2x^{2}+x^{\tfrac{1}{2}})\,dx=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+C.
Se quiser, podemos fatorar \tfrac{2}{3}:
\frac{2}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}\big(x^{3}+x^{\tfrac{3}{2}}\big).

Passo 7

Vamos checar rapidamente derivando o resultado para ver se voltamos à integranda (isso ajuda muito na prova para ganhar confiança).
Derivada de \frac{2}{3}x^{3}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3x^{2}=2x^{2}.
Derivada de \frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{1}{2}}.
Somando as duas derivadas obtemos 2x^{2}+x^{\tfrac{1}{2}}, que é exatamente a integranda. Está confirmado!

Resposta

\frac{2}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+C

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