Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há valores numéricos a determinar além da constante de integração que aparece nas integrais indefinidas.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que são essenciais e muito úteis na prova.
Primeira propriedade (linearidade): a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
Segunda propriedade (constante multiplicativa): uma constante pode sair da integral. Ou seja,
onde
é uma constante.
Aplicando isso ao nosso caso, podemos separar:
Passo 3
Agora a regra principal que vamos usar para cada termo: a regra da potência para antiderivadas.
Regra da potência:
Aqui
é o expoente de
,
é a função a ser integrada, e
é a constante de integração. A regra diz: acrescenta-se 1 ao expoente e divide-se pelo novo expoente.
Exemplo rápido (fora do exercício):
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
.
Primeiro fatoramos a constante
:
Agora usamos a regra da potência com
:
Logo,
Passo 5
Agora integramos o segundo termo
.
Aqui o expoente é
. Aplicando a regra da potência:
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos (lembrando que em integrais indefinidas juntamos as constantes em uma única constante
):
Se quiser, podemos fatorar
:
Passo 7
Vamos checar rapidamente derivando o resultado para ver se voltamos à integranda (isso ajuda muito na prova para ganhar confiança).
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando as duas derivadas obtemos
, que é exatamente a integranda. Está confirmado!