Questão 6 (1,5 pontos): Determine um intervalo no qual a solução o PVI certamente existe, sem resolver a EDO.
(\ln (2 t)) y^{\prime}+y=\operatorname{sec} (t) ; y_{(2)}=4 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
(\ln(2t))\,y'(t)+y(t)=\operatorname{sec}(t),\qquad y(2)=4.
O que se pede: determinar um intervalo em que a solução do PVI certamente existe (sem resolver a EDO).

Passo 2

Coloco a equação na forma explícita para y' — isso é útil para aplicar o teorema de existência e unicidade:
y'=\frac{\operatorname{sec}(t)-y}{\ln(2t)}.
Defino a função do lado direito
f(t,y)=\frac{\operatorname{sec}(t)-y}{\ln(2t)}.
Para usar o teorema, preciso que f(t,y) e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial t_0=2.

Passo 3

Vou identificar onde f pode falhar em ser contínua:
  • O denominador \ln(2t) exige 2t>0\Rightarrow t>0. Além disso \ln(2t)=0 quando 2t=1, isto é em t=\tfrac{1}{2}. Logo há problema em t\le 0 e em t=\tfrac{1}{2}.
  • \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)} é indefinida quando \cos(t)=0, isto é em
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Os pontos singulares de \operatorname{sec}(t) mais próximos de t_0=2 são
\frac{\pi}{2}\approx 1,5708\quad\text{e}\quad \frac{3\pi}{2}\approx 4,7124.
Note que t_0=2 está entre \pi/2 e 3\pi/2, e que t=\tfrac{1}{2} está bem à esquerda de \pi/2.

Passo 4

Calculo também a derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\operatorname{sec}(t)-y}{\ln(2t)}\right)=-\frac{1}{\ln(2t)}.
Essa função depende só de t e é contínua sempre que \ln(2t) é diferente de zero e t>0.
Portanto, ambas as funções f(t,y) e \partial f/\partial y são contínuas em qualquer produto aberto do tipo (a,b)\times\mathbb{R} que não contenha pontos onde \ln(2t)=0 nem onde \cos(t)=0.

Passo 5

Como t_0=2 satisfaz 2>0, \ln(2\cdot2)=\ln(4)\neq0 e \cos(2)\neq0, existe um intervalo aberto em torno de 2 que não contém nenhuma das singularidades listadas. O maior intervalo aberto, contendo 2, livre de singularidades de \operatorname{sec}(t) e de zeros de \ln(2t) é
\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right).
Nessa faixa temos t>0, \ln(2t)\neq0 e \cos(t)\neq0, logo f e \partial f/\partial y são contínuas em \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\times\mathbb{R}.
Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, existe uma única solução do PVI definida (pelo menos) em todo o intervalo \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right) que contém t_0=2.

Passo 6

Resumo final e observação prática: qualquer intervalo aberto que contenha 2 e esteja contido em \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right) também serve; a escolha natural e maximal (dada pelas singularidades mais próximas) é \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)

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