Questão 6 (1,5 pontos): Determine um intervalo no qual a solução o PVI certamente existe, sem resolver a EDO.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede: determinar um intervalo em que a solução do PVI certamente existe (sem resolver a EDO).
Passo 2
Coloco a equação na forma explícita para
— isso é útil para aplicar o teorema de existência e unicidade:
Defino a função do lado direito
Para usar o teorema, preciso que
e
sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial
.
Passo 3
Vou identificar onde
pode falhar em ser contínua:
- O denominador
exige . Além disso quando , isto é em . Logo há problema em e em . -
é indefinida quando , isto é em
Os pontos singulares de
mais próximos de
são
Note que
está entre
e
, e que
está bem à esquerda de
.
Passo 4
Calculo também a derivada parcial em
:
Essa função depende só de
e é contínua sempre que
é diferente de zero e
.
Portanto, ambas as funções
e
são contínuas em qualquer produto aberto do tipo
que não contenha pontos onde
nem onde
.
Passo 5
Como
satisfaz
,
e
, existe um intervalo aberto em torno de
que não contém nenhuma das singularidades listadas. O maior intervalo aberto, contendo
, livre de singularidades de
e de zeros de
é
Nessa faixa temos
,
e
, logo
e
são contínuas em
.
Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, existe uma única solução do PVI definida (pelo menos) em todo o intervalo
que contém
.
Passo 6
Resumo final e observação prática: qualquer intervalo aberto que contenha
e esteja contido em
também serve; a escolha natural e maximal (dada pelas singularidades mais próximas) é
.