Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende a
?
Passo 2
Estratégia: quando temos uma expressão do tipo
com
, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque isso facilita o uso de regras de limite e, se aparecer uma forma indeterminada do tipo
ou
, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Portanto, definimos
e vamos estudar
.
Passo 3
Escrevendo o logaritmo:
O limite que precisamos calcular agora é
Antes de aplicar L’Hospital, verificamos a forma indeterminada. Quando
,
logo
e claro
. Portanto o quociente tem a forma
e podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Breve lembrete (didático) da regra de L’Hospital: se temos
com
(ou ambos divergindo) e
diferenciáveis em um intervalo ao redor de
(exceto possivelmente em
), então
quando o limite do lado direito existir. Aqui
e
.
Passo 5
Aplicando L’Hospital, calculamos as derivadas:
Derivada de é
.
Derivada de
Derivada de
:
usar a regra da cadeia: derivada de é
, com
.
usar a regra da cadeia: derivada de
logo
Portanto, pelo L’Hospital,
Passo 6
Agora avaliamos o limite direto no resultado da derivação: quando
,
Substituindo,
Portanto
Passo 7
Voltando à função original: se
, então