Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0}(\operatorname{sen} x+\cos x)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} (\operatorname{sen} x + \cos x)^{1/x}.
Informações dadas:
\text{o função dentro da potência é } \operatorname{sen} x + \cos x.çãêé
\text{o ponto onde se aproxima é } x\to 0.é
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a 0?

Passo 2

Estratégia: quando temos uma expressão do tipo (\text{algo})^{1/x} com x\to0, é muito útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque isso facilita o uso de regras de limite e, se aparecer uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou \infty/\infty, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Portanto, definimos
y=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{1/x}
e vamos estudar \ln y.

Passo 3

Escrevendo o logaritmo:
\ln y=\frac{1}{x}\ln\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big).
O limite que precisamos calcular agora é
\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)}{x}.
Antes de aplicar L’Hospital, verificamos a forma indeterminada. Quando x\to 0,
\operatorname{sen} x+\cos x \to 0 + 1 = 1,
logo
\ln\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)\to \ln 1 = 0,
e claro x\to 0. Portanto o quociente tem a forma 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Breve lembrete (didático) da regra de L’Hospital: se temos \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} com f(a)=g(a)=0 (ou ambos divergindo) e f,g diferenciáveis em um intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir. Aqui f(x)=\ln(\operatorname{sen} x+\cos x) e g(x)=x.

Passo 5

Aplicando L’Hospital, calculamos as derivadas:
Derivada de g(x)=x é g'(x)=1.
Derivada de f(x)=\ln\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big):
usar a regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u, com u(x)=\operatorname{sen} x+\cos x.
u'(x)=\cos x - \operatorname{sen} x,
logo
f'(x)=\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + \cos x}.
Portanto, pelo L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + \cos x}.

Passo 6

Agora avaliamos o limite direto no resultado da derivação: quando x\to 0,
\cos x \to 1,\qquad \operatorname{sen} x \to 0.
Substituindo,
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + \cos x} = \frac{1-0}{0+1}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\ln y = 1.

Passo 7

Voltando à função original: se \lim_{x\to 0}\ln y = 1, então
\lim_{x\to 0} y = \lim_{x\to 0} e^{\ln y} = e^{1}=e.

Resposta

e

Exercícios relacionados