Determinar os seguintes limites:
lim x infty(1+10x)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(1+10xr)^x
O conteúdo é limite de forma exponencial do tipo l(1+tfracaxr)^x. Vamos usar logaritmo natural para transformar o problema num limite de produto e depois aplicar L’Hôpital ou equivalências.

Passo 2

Defina
L = limxtoinftyl(1+10xr)^x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln L = limxtoinfty xlnl(1+10xr)
Agora temos uma forma inftycdot 0. Para resolver, reescrevemos
ln L = limxtoinftylnl(1+10xr)1x

Passo 3

O quociente acima é do tipo tfrac00. Aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador
ddxlnl(1+10xr) = 11+10xcdotl(-10x^2r) = -10x^2l(1+10xr),
derivada do denominador
ddxl(1xr) = -1x^2
Então
ln L = limxtoinfty -10x^2l(1+10xr)-1x^2 = limxtoinfty101+10x = 10

Passo 4

Como ln L = 10, temos
L = e^10

Resposta

e^10

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