Considere as seguintes distribuições de correntes elétricas: i) linha filamentar em x=2 m e y=4 m com I =60 pi A na direção e sentido positivos e ii) plano z=2 m com densidade linear igual a K. Determine K de tal forma que o campo magnético resultante, no ponto ( 3 m, 5 m, 6 m ), seja igual a H=(10 ax+15 ay) A / m.

Passo 1

O enunciado dá duas distribuições de corrente estacionária e pede o vetor K de densidade superficial (em A/m) de modo que, no ponto P(3,5,6), o campo magnético resultante seja
Hrm tot(P) ;=;l(10,ax+15,ayr);A/m
As contribuições são de
(i) um fio infinito em x=2, y=4, transportando I=60pi A ao longo do eixo z (sentido positivo),
(ii) uma folha infinita de corrente na superfície z=2 com densidade superficial vetorial K.
Para resolver vamos usar
  1. fórmula de Biot–Savart/Ampère para fio infinito,
  2. condição de contorno em H atravessando um “sheet” de corrente:
Hrm acima-Hrm abaixo =Ktimesn,
e o fato de que, para folha infinita, em cada lado
Hrm sheet =tfrac12,l(Ktimesnr)

Passo 2

Calculemos primeiro Hrm fio no ponto P.
No plano xy, a posição do fio é (2,4) e de P é (3,5), então o vetor radial é
rperp =(3-2),ax+(5-4),ay =ax+ay,
com módulo rho=raiz1^2+1^2=raiz2.
Para um fio infinito ao longo de z vale
Hrm fio =I2pi,rho,hatphi,
onde hatphi é perpendicular a rperp apontando em
hatphi=(-tfracraiz22,ax+tfracraiz22,ay).
Logo
Hrm fio =60pi2piraiz2,l(-tfracraiz22,ax+tfracraiz22,ayr) =60pi4pi,l(-ax+ayr) =15l(-ax+ayr) A/m

Passo 3

Como a total desejada é
Hrm tot=(10,ax+15,ay), a contribuição necessária da folha é
Hrm sheet =Hrm tot-Hrm fio =l(10,ax+15,ayr) -l(-15,ax+15,ayr) =25,ax

Passo 4

Para a folha infinita em z=2, tomamos a normal n=az apontando para z>2.
A condição dá, acima da folha,
Hrm sheet =tfrac12,(Ktimesaz)
Queremos Hrm sheet=25,ax, logo
tfrac12,l(Ktimesazr)=25,ax Longrightarrow Ktimesaz=50,ax
Escrevendo K=Kx,ax+Ky,ay (não há componente em az),
Ktimesaz =Kx(axtimesaz)+Ky(aytimesaz) =Kx(-ay)+Ky,ax =;Ky,ax -Kx,ay
Para isso dar 50,ax basta
Ky=50, -Kx=0;Longrightarrow;Kx=0,;Ky=50

Resposta

K=50,ay A/m

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