Determine se a afirmação é V ou F. Justifique em cada caso.
Se f for contínua em [a, b], então integrala^b raizf(x) d x=raizintegrala^b f(x) d x

Passo 1

O enunciado afirma que, para toda função contínua f em [a,b], vale
integrala^b raizf(x),dx = raizintegrala^b f(x),dx
O assunto envolve propriedades de inte­grais e a desigualdade de Jensen para a função varphi(t)=raizt.

Passo 2

A função varphi(t)=raizt é concava em [0,infty). A desigualdade de Jensen diz que, para f(x)>=0 contínua em [a,b],
varphil(1b-aintegrala^bf(x),dxr) ;>=; 1b-aintegrala^bvarphil(f(x)r),dx
Multiplicando ambos os lados por b-a>0, obtemos
raizintegrala^bf(x),dx ;>=; integrala^braizf(x),dx,
e a igualdade só ocorre se f for constante. Portanto, a igualdade proposta não vale em geral.

Passo 3

Contraexemplo: tome f(x)=x em [0,1]. Então
integral0^1raizx,dx = [23x^3/2]0^1 = 23,
enquanto
raizintegral0^1x,dx = raiz12 = 1raiz2 approx0,707
Como tfrac23neqtfrac1raiz2, a igualdade falha.

Resposta

F\n\nJustificativa: a desigualdade de Jensen mostra que em geral integralraizf<=raizintegral f, com igualdade só para f constante; além disso, o contraexemplo f(x)=x em [0,1] confirma que a afirmação é falsa.

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