Determinar os seguintes limites:
lim x 0 tgh(x)x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0tanh(x)x
onde tanh(x) é a função tangente hiperbólica, definida por
tanh(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando xto0, temos uma forma indeterminada tfrac00. Para resolver esse tipo de limite, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos que
limxto0tanh(x)=0,limxto0x=0,
logo
limxto0tanh(x)xé da forma;00é
Aplicamos então a Regra de L’Hôpital, que diz que
limxto0tanh(x)x = limxto0(tanh(x))'(x)'
desde que exista esse segundo limite.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
Portanto
Como , temos , logo .

Resposta

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