Determinar os seguintes limites:
lim x 0 6 x-sen 2 x2 x+3 sen x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto06x-sin(2x)2x+3sin x
Isso é um limite de função real que, ao substituir x=0, dá a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
limxto af(x)=0, limxto ag(x)=0,
então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse segundo limite exista.

Passo 2

Verificamos diretamente a forma do limite:
num = 6cdot0 - sin(0) = 0, den = 2cdot0 + 3sin(0) = 0,
logo é 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
f(x)=6x-sin(2x) Longrightarrow f'(x)=6 - 2cos(2x),
g(x)=2x+3sin x Longrightarrow g'(x)=2 + 3cos x

Passo 4

Pelo L’Hôpital,
limxto06x-sin(2x)2x+3sin x =limxto06-2cos(2x)2+3cos x
Agora substituímos x=0:
6-2cos(0cdot2)=6-2cdot1=4, 2+3cos(0)=2+3cdot1=5
Então o limite vale tfrac45.

Resposta

45

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