Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais
é crescente; (ii) os intervalos nos quais
é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais
é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais
é côncava para baixo; (v) as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
e precisamos encontrar
- onde
é crescente; - onde
é decrescente; - onde
é côncava para cima; - onde
é côncava para baixo; - os
de todos os pontos de inflexão de ; - os extremos relativos de
.
Para isso vamos calcular
,
e
, usar o sinal dessas derivadas e identificar zeros e mudanças de sinal.
Passo 2
Calcular a primeira derivada de
:
Passo 3
Determinar onde
é crescente: basta ver onde
.
Portanto,
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada de
, que é a primeira derivada de
:
Passo 5
Determinar onde
é decrescente, ou seja onde
:
Passo 6
Calcular a terceira derivada de
, que é a segunda derivada de
:
logo
Passo 7
Determinar onde
é côncava para cima (
) e para baixo (
):
isto é
e
Passo 8
Os pontos de inflexão de
são os
onde
muda de sinal, ou seja as raízes de
:
Passo 9
Os extremos relativos de
ocorrem onde
muda de sinal, ou seja em
. De fato:
- Para
: passa de negativo (à esquerda) a positivo (à direita), logo tem mínimo relativo em . O valor é
- Para
: passa de positivo (à esquerda) a negativo (à direita), logo tem máximo relativo em . O valor é
Resposta
(i)
cresce em
.
(ii) decresce em
.
(iii) é côncava para cima em
.
(iv) é côncava para baixo em
.
(v) Pontos de inflexão de :
.
(vi) Extremos relativos de : mínimo em
e máximo em
.
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Pontos de inflexão de
(vi) Extremos relativos de