Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f' é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para baixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos
f(x)=lnl(x^2+1r)
e precisamos encontrar
  1. onde f é crescente;
  2. onde f' é decrescente;
  3. onde f' é côncava para cima;
  4. onde f' é côncava para baixo;
  5. os x de todos os pontos de inflexão de f';
  6. os extremos relativos de f'.
Para isso vamos calcular f', f'' e f''', usar o sinal dessas derivadas e identificar zeros e mudanças de sinal.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de f:
f'(x)=ddxlnl(x^2+1r) =1x^2+1cdot 2x =2x,x^2+1,

Passo 3

Determinar onde f é crescente: basta ver onde f'(x)>0.
f'(x)>0Long<=ftrightarrow2xx^2+1>0 Long<=ftrightarrow x>0
Portanto, f é crescente em (0,infty) e decrescente em (-infty,0).

Passo 4

Calcular a segunda derivada de f, que é a primeira derivada de f':
f''(x) =ddxl(2xx^2+1r) =2(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2 =2-2x^2(x^2+1)^2 =2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Determinar onde f' é decrescente, ou seja onde f''(x)<0:
f''(x)<0Long<=ftrightarrow 1-x^2<0 Long<=ftrightarrow x^2>1 Long<=ftrightarrow xin(-infty,-1)cup(1,infty)

Passo 6

Calcular a terceira derivada de f, que é a segunda derivada de f':
f''(x)=2(1-x^2)(x^2+1)^-2,
logo
f'''(x) =-4x,(3-x^2),(x^2+1)^-3

Passo 7

Determinar onde f' é côncava para cima ( f'''>0) e para baixo ( f'''<0):
f'''(x)>0Long<=ftrightarrow -4x(3-x^2)>0 Long<=ftrightarrow x(3-x^2)<0,
isto é
xin(-raiz3,0)cup(raiz3,infty) ((f') côncava para cima), ô
e
f'''(x)<0Long<=ftrightarrow x(3-x^2)>0 Long<=ftrightarrow xin(-infty,-raiz3)cup(0,raiz3) ((f') côncava para baixo) ô

Passo 8

Os pontos de inflexão de f' são os x onde f''' muda de sinal, ou seja as raízes de f''':
x= -raiz3, x=0, x=+raiz3

Passo 9

Os extremos relativos de f' ocorrem onde f'' muda de sinal, ou seja em x=pm1. De fato:
  • Para x=-1: f'' passa de negativo (à esquerda) a positivo (à direita), logo f' tem mínimo relativo em x=-1. O valor é
f'(-1)=2(-1)(-1)^2+1=-1
  • Para x=1: f'' passa de positivo (à esquerda) a negativo (à direita), logo f' tem máximo relativo em x=1. O valor é
f'(1)=2cdot11^2+1=1

Resposta

(i) f cresce em (0,infty).
(ii) f' decresce em (-infty,-1)cup(1,infty).
(iii) f' é côncava para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty).
(iv) f' é côncava para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3).
(v) Pontos de inflexão de f': x=-raiz3,0,raiz3.
(vi) Extremos relativos de f': mínimo em l(-1,-1r) e máximo em l(1,1r).

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