8-
Seja P o paralelogramo de vértices
(0,0,0) (-2,1,2) (0,-1,-1) (-2,0,1)
e seja d S o elemento de área de P (uma 2 -forma diferenciável). Calcule
integralP(22 x+2 y+2 z) d S
square

Passo 1

O enunciado dá o paralelogramo P com vértice em (0,0,0) e arestas formadas pelos vetores
v1 = (-2,1,2), v2 = (0,-1,-1),
e pede a integral de área
integralP(22x + 2y + 2z),dS
O conteúdo usado é parametrização de superfícies e cálculo de integral dupla com o elemento de área dS=| rstimes rt|,ds,dt.

Passo 2

Parametrizamos o paralelogramo por
r(s,t) = s, v1 + t, v2 = l(-2s,;s-t,;2s - tr),
com (s,t)in[0,1]times[0,1]. Então
rs = partial rpartial s = (-2,1,2), rt = partial rpartial t = (0,-1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial e seu módulo:
rs times rt = i & j & k -2 & 1 & 2 0 & -1 & -1 = (1,-2,2),
l| rs times rtr| =raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 =3
Logo dS=3,ds,dt.

Passo 4

Expressamos o integrando em função de (s,t):
x=-2s, y=s-t, z=2s-t Longrightarrow 22x+2y+2z=-44s +2(s-t)+2(2s-t)=-38s-4t

Passo 5

Montamos e calculamos a integral dupla:
integralP(22x+2y+2z),dS =integral0^1!!integral0^1l(-38s-4tr),3,ds,dt =3l(integral0^1!!-38s,ds+integral0^1!!-4t,dtr)
=3l(-38cdot12-4cdot12r) =3l(-19-2r) =3cdot(-21) =-63

Resposta

-63

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