Determinar quais das seguintes proposições são tautologias, contradições ou contingências :
p \rightarrow(q \rightarrow(q \rightarrow p))

Passo 1

O enunciado pede para classificar a proposição
p \rightarrow \bigl(q \rightarrow (q \rightarrow p)\bigr)
como tautologia, contradição ou contingência. Vamos usar equivalências lógicas (particularmente a do condicional \alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\alpha\lor\beta) para simplificar e ver se ela é sempre verdadeira, sempre falsa ou às vezes verdadeira às vezes falsa.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo interno q \rightarrow (q \rightarrow p). Usando
\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\alpha\lor\beta
com \alpha=q e \beta=(q\rightarrow p), temos
q \rightarrow (q \rightarrow p) \;\equiv\;\neg q \;\lor\;(q\rightarrow p).
Em seguida, aplicamos de novo a equivalência em q\rightarrow p:
q\rightarrow p\equiv\neg q\lor p,
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q \rightarrow (q \rightarrow p) \equiv \neg q \;\lor\;(\neg q\lor p) \equiv \neg q\lor p.

Passo 3

Agora substituímos essa simplificação na fórmula original:
p \rightarrow \bigl(q \rightarrow (q \rightarrow p)\bigr) \;\equiv\; p \rightarrow (\neg q\lor p).
De novo usamos \alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\alpha\lor\beta com \alpha=p e \beta=(\neg q\lor p):
p \rightarrow (\neg q\lor p) \equiv \neg p \;\lor\;(\neg q\lor p).
Pela comutatividade e associação de \lor, isso é
\neg p\lor p\lor \neg q.

Passo 4

Na expressão \neg p\lor p\lor \neg q, o subfórmula \neg p\lor p é sempre verdadeira (é a lei do terceiro excluído). E verdadeiro \lor qualquer coisa = verdadeiro. Logo
\neg p\lor p\lor \neg q \equiv \text{verdadeiro}.

Resposta

A proposição é uma tautologia.

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