Determinar se os seguintes sina is são de energia, de potência ou nenhum dos dois:
x(t)=e^{-a t} u(t), \quad a>0

Passo 1

O enunciado pede para identificar se o sinal
x(t)=e^{-a t}\,u(t),\qquad a>0
é um sinal de energia, de potência ou nenhum dos dois.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O sinal x(t) está explicitado; a constante a é positiva ( a>0).
  • É pedido classificar o sinal segundo as definições usuais (energia finita e não nula; ou potência média finita e não nula).
  • Não há outras restrições.

Passo 2

Entender o formato do sinal e seu módulo ao quadrado:
  • O degrau unitário u(t) vale u(t)=1 para t\ge0 e u(t)=0 para t<0. Portanto x(t)=0 para t<0 e x(t)=e^{-a t} para t\ge0.
  • Para as definições precisamos de |x(t)|^2. Aqui x(t) é real não-negativo para t\ge0, então
|x(t)|^2 = \big(e^{-a t}u(t)\big)^2 = e^{-2a t}u(t).

Passo 3

Definição de energia de um sinal (aula rápida):
  • A energia E de um sinal contínuo é
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \,dt.
  • Classificação: se 0<E<\infty então o sinal é um sinal de energia. Se a energia é infinita e a potência média é finita não-nula, o sinal é de potência. Se nenhuma das duas condições se aplica, é “nenhum dos dois”.

Passo 4

Cálculo da energia do sinal passo a passo:
  • Como x(t)=0 para t<0, a integral de energia reduz para
E=\int_{0}^{\infty} e^{-2a t}\,dt.
  • Calcular a integral: uma primitiva de e^{-2a t} é -\dfrac{1}{2a}e^{-2a t}. Assim
E=\left[-\frac{1}{2a}e^{-2a t}\right]_{0}^{\infty} =\left(0\right)-\left(-\frac{1}{2a}e^{0}\right) =\frac{1}{2a}.
  • Observações sobre o resultado: como a>0, temos \dfrac{1}{2a} finito e positivo. Logo 0<E<\infty.

Passo 5

Conclusão parcial a partir da energia:
  • Pelo critério da definição, o sinal é um sinal de energia, pois tem energia finita e positiva.
  • Ainda confirmamos que a potência média será zero (isto é típico: sinais de energia têm potência média zero), mas vamos calcular explicitamente para ficar bem claro.

Passo 6

Definição e cálculo da potência média (para confirmar):
  • A potência média P é dada por
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt.
  • Novamente, por causalidade do sinal (zero para t<0), a integral entre -T e T vale a integral entre 0 e T. Então
\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt = \int_{0}^{T} e^{-2a t}\,dt = \frac{1-e^{-2aT}}{2a}.
  • Dividindo por 2T e tomando o limite:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{1-e^{-2aT}}{2a} =\lim_{T\to\infty}\frac{1-e^{-2aT}}{4aT}.
  • Como 1-e^{-2aT}\to 1 quando T\to\infty e 4aT\to\infty, o quociente tende a 0. Portanto
P=0.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
  • Resumindo: a energia é finita e igual a \dfrac{1}{2a} e a potência média é \,0. Pelo critério padrão isso classifica x(t) como um sinal de energia.
  • Dica para a prova: ao ver e^{-a t}u(t) com a>0 lembre-se que o fator exponencial faz o quadrado decair rápido o suficiente para gerar energia finita; quase sempre sinais causais exponenciais assim são sinais de energia (potência zero). Vai dar certo — respira e confia no processo!

Resposta

Sinal de energia. Energia E=\dfrac{1}{2a}. Potência P=0.

Exercícios relacionados