Determinar a, b e c no sentido de minimos quadrados discretos, supondo: y(x)=-a x^{2}+b \sqrt{x}-c.
x_{i} 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0
y_{i} 0.0 0.316 0.447 0.547 0.632 0.707 1.0

Passo 1

O enunciado dá sete pontos (x_i,y_i) e pede ajustar o modelo
y(x) \;=\;-a\,x^{2}+b\,\sqrt{x}-c
pelo critério de mínimos quadrados discretos. Vamos precisar formular a soma dos quadrados dos resíduos, derivar em relação a a,b,c e montar as equações normais.

Passo 2

Definimos as funções base
\phi_{1}(x)=-x^{2},\quad \phi_{2}(x)=\sqrt{x},\quad \phi_{3}(x)=-1
e escrevemos o resíduo em cada ponto como
r_i = y_i - \bigl(-a\,x_i^2 + b\,\sqrt{x_i} - c\bigr) =\;y_i - \bigl(a\,\phi_1(x_i)+b\,\phi_2(x_i)+c\,\phi_3(x_i)\bigr).
O critério de mínimos quadrados é minimizar
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{7}r_i^2.
As condições \partial S/\partial a=0, \partial S/\partial b=0, \partial S/\partial c=0 geram o sistema normal
\sum_{i}\phi_j(x_i)\,\bigl(a\,\phi_1(x_i)+b\,\phi_2(x_i)+c\,\phi_3(x_i)\bigr) =\sum_{i}\phi_j(x_i)\,y_i,
para j=1,2,3.

Passo 3

Calculamos as somas necessárias (índice i de 1 a 7, lembrando que em x_1=0 quase tudo é zero):
\begin{aligned} S_{11}&=\sum x_i^4\approx1{,}0979, &S_{12}&=-\sum x_i^{2.5}\approx-1{,}3483, &S_{13}&=\sum x_i^2\approx1{,}5500,\\\ S_{22}&=\sum x_i\approx2{,}5000, &S_{23}&=-\sum\sqrt{x_i}\approx-3{,}6507, &S_{33}&=7,\\\ R_{1}&=-\sum x_i^2\,y_i\approx-1{,}3481, &R_{2}&=\sum\sqrt{x_i}\,y_i\approx2{,}4991, &R_{3}&=-\sum y_i\approx-3{,}6490. \end{aligned}

Passo 4

O sistema normal fica
\begin{cases} 1{,}0979\,a -1{,}3483\,b +1{,}5500\,c = -1{,}3481,\\\\ -1{,}3483\,a +2{,}5000\,b -3{,}6507\,c = 2{,}4991,\\\\ 1{,}5500\,a -3{,}6507\,b +7\,c = -3{,}6490. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo por eliminação de Gauss encontramos
a\approx-0{,}00517,\quad b\approx0{,}9938,\quad c\approx-0{,}00225.

Passo 6

Logo, o ajuste obtido é quase puramente da forma y\approx b\sqrt{x}, com correções muito pequenas em x^2 e na constante.

Resposta

a\approx-0{,}00517,\quad b\approx0{,}9938,\quad c\approx-0{,}00225

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