Calcular numericamente a integral
I=4 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta,
usando:
regra trapezoidal composta com duas divisões.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente
I = 4 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta
usando a regra trapezoidal composta com n=2 subdivisões em [0,\pi/2]. Vamos aplicar a fórmula da regra trapezoidal composta e depois multiplicar por 4.

Passo 2

Definimos
a = 0,\quad b = \frac{\pi}{2},\quad n = 2
e o passo
h = \frac{b - a}{n} = \frac{\pi/2 - 0}{2} = \frac{\pi}{4}.
Os nós são
\theta_0 = 0,\quad \theta_1 = \frac{\pi}{4},\quad \theta_2 = \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Calculamos os valores de f(\theta)=\cos^2\theta nos nós:
f(\theta_0) = \cos^2(0) = 1,\quad f(\theta_1) = \cos^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac12,\quad f(\theta_2) = \cos^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = 0.

Passo 4

A aproximação trapezoidal composta para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta é
T = \frac{h}{2}\bigl[f(\theta_0) + 2f(\theta_1) + f(\theta_2)\bigr] = \frac{\pi/4}{2}\bigl[1 + 2\cdot\tfrac12 + 0\bigr] = \frac{\pi}{8}\cdot2 = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por 4 para obter I:
I \approx 4T = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi.

Resposta

\pi

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