Calcular numericamente a integral
I=4 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta,
usando:
regra de quadratura de Gauss com dois pontos;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente
I = 4 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta \, d\theta
usando a regra de Gauss–Legendre com dois pontos. Vamos usar uma mudança linear para levar o intervalo [0,\pi/2] em [-1,1] e aplicar a fórmula de dois nós.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
\theta = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{a+b}{2},
com a=0, b=\pi/2. Assim
\theta = \frac{\pi/4}{1}\,t + \frac{\pi/4} = \frac{\pi}{4}\,t + \frac{\pi}{4},
e
d\theta = \frac{b-a}{2}\,dt = \frac{\pi}{4}\,dt.
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\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}\int_{-1}^{1}\cos^{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}t+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)\,dt.

Passo 3

Na regra de Gauss com dois pontos os nós em [-1,1] são
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\quad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}},
e os pesos são w_{1}=w_{2}=1. Assim
\int_{-1}^{1}g(t)\,dt \approx g(t_{1}) + g(t_{2}).
Aplicando a nosso caso:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta \approx \frac{\pi}{4}\biggl[\cos^{2}\bigl(\theta_{1}\bigr) +\cos^{2}\bigl(\theta_{2}\bigr)\biggr],
onde
\theta_{i} = \frac{\pi}{4}\,t_{i} + \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Calculamos \theta_{1} e \theta_{2}:
\theta_{1} = \frac{\pi}{4}\Bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr), \quad \theta_{2} = \frac{\pi}{4}\Bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Em seguida avaliamos
\cos^{2}(\theta_{1}) \approx \cos^{2}(0{,}3316)\approx 0{,}8943, \quad \cos^{2}(\theta_{2}) \approx \cos^{2}(1{,}2388)\approx 0{,}1065.

Passo 5

Substituindo na fórmula e multiplicando por 4:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta \approx \frac{\pi}{4}\,(0{,}8943+0{,}1065) = \frac{\pi}{4}\,1{,}0008 \approx 0{,}7856\pi,
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I = 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta \approx 4\cdot0{,}7856\pi = 3{,}1424\pi/\pi = 3{,}1424.

Resposta

I\approx 3{,}142 (aproximação pela regra de Gauss de dois pontos)

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