Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência l(anr)ninN^* definida por
an = n ,sin!l(tfracpi2nr)
O conteúdo aqui é o cálculo de limite de sequência usando a equivalência fundamental
sin xsim x quando xto0.

Passo 2

Como tfracpi2nto0 quando ntoinfty, usamos a equivalência
sin x sim x Longrightarrow limxto0sin xx=1
Substituindo x=tfracpi2n, obtemos
sin!l(tfracpi2nr)sim tfracpi2n

Passo 3

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an = n,sin!l(tfracpi2nr) sim ncdot tfracpi2n = tfracpi2,
o que mostra que
limntoinftyan = tfracpi2

Resposta

A sequência converge e seu limite é pi2.

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