integral cot ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cot^5 x,dx
O conteúdo aqui é integração de potências ímpares de cot x. Vamos usar a identidade
cot^2 x = csc^2 x - 1
e depois fazer separações que nos permitam usar substituições do tipo u=cot x ou u=csc x.

Passo 2

Escrevemos
cot^5 x = cot^3 x;cot^2 x =cot^3 x,(csc^2 x -1)
Então
integral cot^5 x,dx = integral cot^3 x,csc^2 x,dx ;-;integral cot^3 x,dx

Passo 3

Vamos primeiro calcular
I1=integral cot^3 x,csc^2 x,dx
Fazemos a substituição
u=cot x, de modo que
du=-csc^2 x,dx.
Então
I1 =integral u^3,(-du) =-integral u^3,du =-u^44 =-cot^4 x4

Passo 4

Agora calculamos
I2=integral cot^3 x,dx
Usamos de novo cot^2 x=csc^2 x-1, obtendo
cot^3 x =cot x,cot^2 x =cot x,(csc^2 x-1) =cot x,csc^2 x ;-;cot x
Logo
I2 =integral cot x,csc^2 x,dx ;-;integral cot x,dx

Passo 5

Para integral cot x,csc^2 x,dx fazemos
t=csc x, dt=-csc x,cot x,dx.
Note que
csc^2 x,cot x,dx=csc xcdot(csc x,cot x,dx)=-csc x,dt.
Então
integral cot x,csc^2 x,dx =-integral t,dt =-t^22 =-csc^2 x2
E já sabemos
integral cot x,dx=lnl|sin xr|
Portanto
I2 =-csc^2 x2 -lnl|sin xr|

Passo 6

Reunindo tudo:
integral cot^5 x,dx =I1 - I2 =-cot^4 x4 -l(-csc^2 x2-lnl|sin xr|r) =-cot^4 x4 +csc^2 x2 +lnl|sin xr| +C

Resposta

boxed integral cot^5 x,dx =-cot^4 x4 +csc^2 x2 +lnl|sin xr| +C

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