Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
12-)
_{n \in N^{*}}
12-)
_{n \in N^{*}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
com
. O tema aqui é convergência de sequência real, e vamos precisar usar a ideia de subsequências e o fato de que
é denso em
, isto é, seus valores não se aproximam de um único número.
Passo 2
Primeiro observamos que
oscila entre
e
, e
só muda o sinal, mas não dá estabilidade à sequência. Se houvesse limite
, toda subsequência deveria também convergir para
.
Passo 3
Usamos o fato clássico de que a sequência
(com
inteiro) é densa em
. Logo existem índices pares
tais que
portanto
Passo 4
Por outro lado, existem índices ímpares
tais que
de modo que
Passo 5
Como encontramos duas subsequências de
com limites diferentes (uma vai a
e outra a
), a sequência não pode ter limite.
Resposta
A sequência
diverge.