Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
12-)
(-1)^n sen n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
an = (-1)^n sen n,
com ninN^*. O tema aqui é convergência de sequência real, e vamos precisar usar a ideia de subsequências e o fato de que sen n é denso em [-1,1], isto é, seus valores não se aproximam de um único número.

Passo 2

Primeiro observamos que sen n oscila entre -1 e 1, e (-1)^n só muda o sinal, mas não dá estabilidade à sequência. Se houvesse limite L, toda subsequência deveria também convergir para L.

Passo 3

Usamos o fato clássico de que a sequência sen n (com n inteiro) é densa em [-1,1]. Logo existem índices pares nk tais que
sen(nk)to 1 e (-1)^nk=1,
portanto
ank=(-1)^nksen(nk)to 1

Passo 4

Por outro lado, existem índices ímpares mk tais que
sen(mk)to 1 e (-1)^mk=-1,
de modo que
amk=(-1)^mksen(mk)to -1

Passo 5

Como encontramos duas subsequências de (an) com limites diferentes (uma vai a 1 e outra a -1), a sequência não pode ter limite.

Resposta

A sequência l((-1)^nsen nr)ninN^* diverge.

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