integral cos ^20 xsen^22 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos^20xsen^22x,dx
O conteúdo aqui é manipular potências de funções trigonométricas e usar substituição adequada (variável auxiliar) para simplificar.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando em termos de cot x e csc x. Note que
cos^20xsen^22x = l(cos xsenxr)^20cdot1sen^2x = cot^20x;csc^2x,
onde
cot x = dfraccos xsenx e
csc x = dfrac1senx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cot x
Como dfracddxcot x = -csc^2x, temos
du = -csc^2x,dx Longrightarrow csc^2x,dx = -,du

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral cot^20x,csc^2x,dx = integral u^20(-du) = -integral u^20,du = -u^2121 + C

Passo 5

Voltando à variável x por u=cot x, a primitiva fica
-cot^21x21 + C

Resposta

-cot^21x21 + C

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