Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = (4n)^1n,
definida para ninN^*, e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de limite de sequência via logaritmo e exponencial, aproveitando que
limntoinftyn^1n=1
e propriedades de ln e exp.

Passo 2

Para explorar o limite, escrevemos an em termos de exponencial e logaritmo, pois isso facilita o cálculo:
an = (4n)^1n = expl(lnl((4n)^1nr)r) = exp!l(tfrac1nln(4n)r)

Passo 3

Agora calculamos o limite do expoente:
limntoinftyln(4n)n = limntoinftyl(ln 4n + ln nnr) = 0 + 0 = 0,
pois ln4 é constante e ln n/nto0. Logo,
limntoinftyan = limntoinftyexpl(tfracln(4n)nr) = exp(0) = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty(4n)^1n = 1

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