Determine o valor das constantes a, b e c de modo que os campos abaixo sejam irrotacionais.
F(x, y, z)=(a x y-z^3,(a-2) x^2,(1-a) x z^2);

Passo 1

O enunciado pede para achar as constantes de modo que o campo

seja irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional quando
Aqui vamos chamar
e impor .

Passo 2

Calcular a componente x de nablatimesvec F:
(nablatimesvec F)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z =0 - 0 = 0
Esta já se anula para qualquer a, pois nem Q nem R dependem de y ou de z, respectivamente.

Passo 3

Calcular a componente y de nablatimesvec F:
(nablatimesvec F)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = (-3,z^2) - l((1-a),z^2r) = -(3 +1 -a),z^2 = -(4 - a),z^2
Para anular isso para todo z, devemos ter
4 - a = 0 Longrightarrow a = 4

Passo 4

Calcular a componente z de nablatimesvec F:
(nablatimesvec F)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = l(2(a-2),xr) - l(a,xr) = (2a -4 - a),x = (a -4),x
Para anular isto para todo x, também precisamos de
a - 4 = 0 Longrightarrow a = 4,
confirmando o mesmo valor.

Passo 5

Como no campo original as componentes eram escritas em termos de a como
Q = (a-2),x^2, R = (1-a),x,z^2,
basta substituir a=4 para encontrar os coeficientes finais:
a = 4, b = a-2 = 4-2 = 2, c = 1-a = 1-4 = -3

Resposta

a = 4, b = 2, c = -3.

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