integral raiz[3]cos x sin ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz[3]cos x,sin^5 x,dx
O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas via substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx
Repare que
sin^5 x = sin^4 x;sin x = (1-cos^2 x)^2,sin x = (1-u^2)^2,sin x

Passo 3

Usando isso, a integral original vira
integral raiz[3]cos x,sin^5 x,dx = integral u^1/3(1-u^2)^2,(-du) = -integral u^1/3(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o quadrado e multiplicamos por u^1/3:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4, u^1/3(1-u^2)^2 = u^1/3 - 2u^7/3 + u^13/3
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-integral u^1/3(1-u^2)^2,du = -integrall(u^1/3 - 2u^7/3 + u^13/3r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^1/3,du = 34u^4/3, integral u^7/3,du = 310u^10/3, integral u^13/3,du = 316u^16/3
Portanto,
-integral(u^1/3 - 2u^7/3 + u^13/3),du = -l(34u^4/3 - 2cdot310u^10/3 + 316u^16/3r) + C

Passo 6

Simplificando os coeficientes e voltando para x (lembrando u=cos x), obtemos
-34cos^4/3x + 35cos^10/3x - 316cos^16/3x + C

Resposta

-34cos^4/3x + 35cos^10/3x - 316cos^16/3x + C

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