Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
10-)
6-n^32(raizn+1)^2
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = 6 - n^32l(raizn+1r)^2
e decidir se ela converge (para algum número real) ou diverge. O conteúdo é limite de sequência quando ntoinfty, e vamos precisar identificar os termos dominantes no numerador e denominador para ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Para enxergar o termo dominante, dividimos numerador e denominador por n. Escrevemos
an = 6 - n^32(raizn+1)^2 = 6 - n^32n(raizn+1)^2n = ;6n - raizn;;1 + 2raizn + 1n;

Passo 3

Agora calculamos o limite dos termos quando ntoinfty:
6nto0, raizntoinfty, 2raiznto0 e 1nto0.
Logo, o numerador 6n-raiznto -infty e o denominador 1+2raizn+1nto1.
Portanto,
limntoinftyan = -infty1 = -infty

Passo 4

Como o limite não é um número real finito, mas sim -infty, concluímos que a sequência não converge para valor finito. Dizemos que ela diverge, mais precisamente diverge para -infty.

Resposta

A sequência diverge, tendo limntoinftyan=-infty.

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