Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para decidir se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: nós vamos verificar se em um domínio simplesmente conectado (aqui todo ) e, depois, construir o potencial por integração de componentes.
Passo 2
Calculemos o rotacional de :
Como todas as derivadas mistas são nulas, temos
nablatimesF=(0,0,0)
Passo 3
O domínio de F é R^3, que é simplesmente conectado, e já vimos que nablatimesF=0. Portanto, F é um campo conservativo.
Passo 4
Para encontrar o potencial phi(x,y,z), integramos componente a componente:
Integramos partialphipartial x=e^x em x, obtendo
phi(x,y,z)=integral e^x,dx = e^x+g(y,z)
Derivamos em relação a y e igualamos a F2=2e^y:
partialphipartial y =partialpartial yl(e^x+g(y,z)r) =gy(y,z) =2e^y
Integrando em y dá
g(y,z)=2e^y+h(z)
Finalmente, derivamos em z e igualamos a F3=3e^z:
partialphipartial z =partialpartial zl(e^x+2e^y+h(z)r) =h'(z) =3e^z,