Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
F(x, y, z)=(e^x, 2 e^y, 3 e^z)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(e^x,,2e^y,,3e^zr)
e pede para decidir se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: nós vamos verificar se nablatimesF=0 em um domínio simplesmente conectado (aqui todo R^3) e, depois, construir o potencial por integração de componentes.

Passo 2

Calculemos o rotacional de F:
nablatimesF = i&j&k partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z e^x&2e^y&3e^z =l(partialpartial y(3e^z)-partialpartial z(2e^y),; partialpartial z(e^x)-partialpartial x(3e^z),; partialpartial x(2e^y)-partialpartial y(e^x)r)
Como todas as derivadas mistas são nulas, temos
nablatimesF=(0,0,0)

Passo 3

O domínio de F é R^3, que é simplesmente conectado, e já vimos que nablatimesF=0. Portanto, F é um campo conservativo.

Passo 4

Para encontrar o potencial phi(x,y,z), integramos componente a componente:
  1. Integramos partialphipartial x=e^x em x, obtendo
    phi(x,y,z)=integral e^x,dx = e^x+g(y,z)
  2. Derivamos em relação a y e igualamos a F2=2e^y:
    partialphipartial y =partialpartial yl(e^x+g(y,z)r) =gy(y,z) =2e^y
    Integrando em y
    g(y,z)=2e^y+h(z)
  3. Finalmente, derivamos em z e igualamos a F3=3e^z:
    partialphipartial z =partialpartial zl(e^x+2e^y+h(z)r) =h'(z) =3e^z,
    o que leva a
    h(z)=3e^z+C
Juntando tudo, um potencial é
phi(x,y,z)=e^x+2e^y+3e^z+C

Resposta

F é conservativo e um potencial é
phi(x,y,z)=e^x+2e^y+3e^z+C

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