Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
11-)
3+(-1)^n raiznn+2
_{n \in N^{*}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a sequência
an=3+(-1)^nraiznn+2
para ninN^*. O conteúdo envolve estudar a convergência de uma sequência real. Vamos usar propriedades de limites e o teorema do confronto para resolver.

Passo 2

Escrevemos
an=3+(-1)^nraiznn+2 =3n+2+(-1)^nraiznn+2,
de modo a analisar separadamente cada parcela.

Passo 3

A primeira parcela é
3n+2.
Como o numerador é constante e o denominador cresce sem limite, temos
limntoinfty3n+2=0

Passo 4

Para a segunda parcela, usemos o módulo e o teorema do confronto:
|(-1)^nraiznn+2| =raiznn+2 <raiznn =1raizn
Como
limntoinfty1raizn=0,
segue pelo confronto que
limntoinfty(-1)^nraiznn+2=0

Passo 5

Pela soma de limites,
limntoinftyan =limntoinfty3n+2 +limntoinfty(-1)^nraiznn+2 =0+0=0
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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