Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, achar um potencial .
Como o domínio é todo (que é simplesmente conexo), basta verificar se
.
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, achar um potencial
Como o domínio é todo
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
Como todas as igualdades
,
e
valem, temos
e o campo é conservativo.
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos
em relação a
:
Em seguida, igualamos
para obter
. Integrando em
vem
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Passo 4
Finalmente, impomos
o que dá
. Assim
é constante e podemos tomá-la igual a zero.
Resposta
O campo
é conservativo e um potencial adequado é