Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
F(x, y, z)=(6 x y+z^3, 3 x^2-z, 3 x z^2-y)

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
vec F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(6xy + z^3,;3x^2 - z,;3xz^2 - yr)
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, achar um potencial f(x,y,z).
Como o domínio é todo R^3 (que é simplesmente conexo), basta verificar se nabla times vec F = vec 0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial y(6xy + z^3) = 6x, partial Qpartial x = partialpartial x(3x^2 - z) = 6x;
partial Ppartial z = 3z^2, partial Rpartial x = partialpartial x(3xz^2 - y) = 3z^2;
partial Qpartial z = partialpartial z(3x^2 - z) = -1, partial Rpartial y = partialpartial y(3xz^2 - y) = -1
Como todas as igualdades partial P/partial y = partial Q/partial x, partial P/partial z = partial R/partial x e partial Q/partial z = partial R/partial y valem, temos nabla times vec F = vec 0 e o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar o potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y,z) = integral (6xy + z^3),dx = 3x^2y + xz^3 + C(y,z)
Em seguida, igualamos
partial fpartial y = 3x^2 + partial Cpartial y ;=; Q = 3x^2 - z
para obter partial C/partial y = -,z. Integrando em y vem
C(y,z) = -,yz + D(z)
Logo
f(x,y,z) = 3x^2y + xz^3 - yz + D(z)

Passo 4

Finalmente, impomos
partial fpartial z = 3xz^2 - y + D'(z) ;=; R = 3xz^2 - y
o que dá D'(z)=0. Assim D(z) é constante e podemos tomá-la igual a zero.

Resposta

O campo F é conservativo e um potencial adequado é
boxedf(x,y,z) = 3x^2 y + x z^3 - y z

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