Encontre a derivada das funções abaixo.
(1,0) y=(x-22 x+1)^9

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(x-22x+1r)^9
O conteúdo principal é cálculo de derivadas de função composta, usando a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x-22x+1
e a função externa
v(u) = u^9
Pela regra da cadeia,
y' = dvdu,dudx = 9,u^8,dudx

Passo 3

Agora calculamos u'(x) pela regra do quociente. Se u(x)=tfracf(x)g(x) então
u'(x) =g(x),f'(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2
Aqui f(x)=x-2 e g(x)=2x+1, logo f'(x)=1 e g'(x)=2. Assim
u'(x) =(2x+1)cdot1 - (x-2)cdot2(2x+1)^2 =2x+1 -2x +4(2x+1)^2 =5(2x+1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em y':
y' =9,l(x-22x+1r)^8,5(2x+1)^2 =45,(x-2)^8(2x+1)^8;1(2x+1)^2 =45,(x-2)^8(2x+1)^10

Resposta

y' = 45,(x-2)^8(2x+1)^10

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