Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
13-)
1+(-1)^n2^n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = 1 + (-1)^n2^n
para ninN^*. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequência, usando o Teorema da Soma de Limites e o Teorema do Confronto (ou módulo) para mostrar que o termo oscilante sobre o exponencial tende a zero.

Passo 2

Analisamos o termo (-1)^n2^n. Note que
|(-1)^n2^n| = 12^n
Como 12^n é uma sequência geométrica de razão 1/2 e satisfaz
limntoinfty12^n = 0,
pelo Teorema do Confronto temos
limntoinfty(-1)^n2^n = 0

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema da Soma de Limites. Como a parte constante 1 converge trivialmente para 1 e o termo oscilante dividido por 2^n converge para 0, temos
limntoinftyan = limntoinftyl(1 + (-1)^n2^nr) = limntoinfty1 ;+;limntoinfty(-1)^n2^n = 1 + 0 = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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