Sejam ( M, d ) um espaço métrico, X subset M e Y subset M subconjuntos de M.
(1,5 ponto) Prove que X cup Y=barX cup barY e int(X cap Y)=int(X) cap int(Y).
(1,0 ponto) Suponha que M=barX cup barY, X cap Y neq emptyset e X e Y são conjuntos conexos. Mostre que toda função contínua f: M Q é constante.

Passo 1

O enunciado envolve dois tópicos principais de topologia em espaço métrico (M,d):
  1. Propriedades de fecho e interior de união e interseção de subconjuntos X,Ysubset M.
  2. Dada a informação adicional de que M = X;cup;Y, Xcap Yneqemptyset, com X e Y conjuntos conexos, mostrar que toda função contínua fcolon MtoQ é constante.
    Para resolver usaremos definições de fecho ( A é a interseção de todos os fechados que contêm A) e de interior ( int(A) é a união de todos os abertos contidos em A), além de lembrar que Q é um espaço totalmente desconexo, ou seja, seus subconjuntos conexos são unicamente pontos.

Passo 2

Prova de .
  1. Se é fechado e contém então contém e contém . Logo
  2. Para a outra inclusão, seja . Então todo raio aberto em intercepta , logo intercepta ou . Isso diz que ou . Assim
Concluímos .

Passo 3

Prova de int(Xcap Y)=int(X)capint(Y).
  1. int(X)capint(Y) é interseção de dois abertos, logo é aberto, e está contido em Xcap Y. Assim int(X)capint(Y) ;subset; int(Xcap Y)
  2. Se pinint(Xcap Y) então existe bola aberta centrada em p contida em Xcap Y. Essa mesma bola está contida em X e em Y, portanto pinint(X) e em int(Y). Logo int(Xcap Y) ;subset; int(X)capint(Y)
Logo int(Xcap Y)=int(X)capint(Y).

Passo 4

Agora a parte de função contínua fcolon MtoQ. Como X é conexo e f contínua, f(X)subsetQ é conexo. Mas Q é totalmente desconexo, isto é, seus subconjuntos conexos são apenas pontos. Logo existe q1inQ tal que
f(X)=q1
Analogamente existe q2 com f(Y)=q2.

Passo 5

Como Xcap Yneqemptyset, escolha pin Xcap Y. Então
f(p)in f(X)=q1 e f(p)in f(Y)=q2,
logo q1=q2. Assim f vale o mesmo ponto q1 em X e em Y. Para concluir que f é constante em todo M=XcupY basta usar continuidade: para cada xinX, toda vizinhança de x contém pontos de X, logo f(x) deve pertencer à adesão de f(X)=q1, que é q1. Igual argumento em Y. Portanto fequiv q1 em todo M.

Resposta

Parte (1,5):
Xcup Y=XcupY, int(Xcap Y)=int(X)capint(Y)
Parte (1,0): Qualquer contínua fcolon MtoQ é constante.

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