Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
17-)
e^n-e^-ne^n+e^-n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = e^n - e^-ne^n + e^-n,
para ninN^*, e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência real, usando propriedades de exponenciais.

Passo 2

Para entender o comportamento quando ntoinfty, note que e^n cresce muito rápido e e^-n decai a zero. Para tornar isso claro, fatoramos e^n em numerador e denominador:
an = e^n - e^-ne^n + e^-n = e^nl(1 - e^-2nr)e^nl(1 + e^-2nr) = 1 - e^-2n1 + e^-2n

Passo 3

Agora basta observar o limite de e^-2n quando ntoinfty:
limntoinfty e^-2n = 0
Logo,
limntoinfty an = limntoinfty 1 - e^-2n1 + e^-2n = 1 - 01 + 0 = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty e^n - e^-ne^n + e^-n = 1

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