integral d x2 x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx2x^2-2x+1
O conteúdo usado será a técnica de completar o quadrado no denominador e, em seguida, a fórmula padrão
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(uar)+C

Passo 2

Vamos completar o quadrado em 2x^2-2x+1:
2x^2-2x+1 =2l(x^2-x+tfrac12r) =2l((x-tfrac12)^2-tfrac14+tfrac12r) =2l((x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2r)
Logo,
12x^2-2x+1 =12,1(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2,
e a integral vira
integral dx2x^2-2x+1 =12integral dx(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2

Passo 3

Fazendo a substituição u = x - tfrac12, temos du = dx e a = tfrac12. Assim,
12integral dx(x-tfrac12)^2+(tfrac12)^2 =12integral duu^2+(tfrac12)^2 =12cdot1tfrac12arctan!l(tfracutfrac12r)+C =arctan(2u)+C
Voltando a x, obtemos
arctanl(2(x-tfrac12)r)+C =arctan(2x-1)+C

Resposta

arctan(2x-1)+C

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