Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
22-)
raiz2 n^2+1n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência (an) definida por
an = raiz2,n^2+1n
converge ou diverge. Vamos usar propriedades de limites de sequências e manipulação de radicais.

Passo 2

Para simplificar an=raiz2,n^2+1n, fatoramos n^2 dentro da raiz:
an = raizn^2l(2 + tfrac1n^2r)n = n,raiz2 + tfrac1n^2n = raiz2 + tfrac1n^2

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty. Como tfrac1n^2to 0, temos
limntoinftyan = limntoinftyraiz2 + tfrac1n^2 = raiz2 + 0 = raiz2

Passo 4

O limite raiz2 existe e é finito, logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = raiz2

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