Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
23-)
arctan (n+22)
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
l(arctanl((n+2)/2r)r)ninN^*. Vamos usar limite de sequência, continuidade de funções e o fato de que
limxtoinftyarctan(x)=pi/2.

Passo 2

Primeiro analisamos a sequência interna
l((n+2)/2r). Como ntoinfty, claramente
limntoinftyn+22=+infty

Passo 3

A função arctan x é contínua em todo R. Logo podemos passar o limite pela função:
limntoinftyarctan!l(tfracn+22r) =arctan!l(limntoinftytfracn+22r) =arctan(+infty)
E sabemos que
arctan(+infty)=pi2

Passo 4

Portanto, a sequência converge e seu limite é
limntoinftyarctan!l(tfracn+22r) =pi2

Resposta

A sequência converge e seu limite é dfracpi2.

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