Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo. Para isso vamos usar o critério do rotacional em (domínio simplesmente conexo).
e pede para verificar se ele é conservativo. Para isso vamos usar o critério do rotacional em
Passo 2
Um campo
é conservativo num domínio simplesmente conexo se, e somente se,
ou equivalentemente todas as derivadas mistas satisfazem
,
e
.
Passo 3
Calculamos
Como
em geral, temos
Passo 4
Já que o rotacional não se anula,
não é conservativo em
. Logo, não existe função potencial
tal que
.
Resposta
O campo
não é conservativo, portanto não há potencial.