Determine se os campos abaixo são conservativos, caso afirmativo, encontre um potencial.
F(x, y, z)=(1+y sin (x z), 1-cos (x z), z)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=l(P,Q,Rr)=(1+ysin(xz),,1-cos(xz),,z)
e pede para verificar se ele é conservativo. Para isso vamos usar o critério do rotacional em R^3 (domínio simplesmente conexo).

Passo 2

Um campo vec F=(P,Q,R) é conservativo num domínio simplesmente conexo se, e somente se,
nablatimes vec F = 0,
ou equivalentemente todas as derivadas mistas satisfazem
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
partial Ppartial z=partial Rpartial x e
partial Qpartial z=partial Rpartial y.

Passo 3

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(1+ysin(xz)r) =sin(xz),
partial Qpartial x =partialpartial xl(1-cos(xz)r) =;z,sin(xz)
Como sin(xz)neq zsin(xz) em geral, temos
partial Ppartial yneq partial Qpartial x Longrightarrow nablatimes vec Fneq 0

Passo 4

Já que o rotacional não se anula, vec F não é conservativo em R^3. Logo, não existe função potencial phi tal que nablaphi=vec F.

Resposta

O campo vec F não é conservativo, portanto não há potencial.

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