Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
27-)
(1-1n)^n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an=l(1-1nr)^n,
ou seja, precisamos calcular
limntoinftyan.
O conteúdo aqui é o limite de uma forma exponencial do tipo l(1+xnr)^n e podemos usar tanto a definição de e^x quanto técnicas de análise de limite (como logaritmo e L’Hôpital).

Passo 2

Vamos tomar logaritmo natural de an para facilitar:
ln(an) = n,ln!l(1-1nr) = ln!l(1-1nr)tfrac1n
Quando ntoinfty, o numerador e o denominador vão a zero, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
derivada do numerador em relação a n:
ddnln!l(1-tfrac1nr) =11-tfrac1ncdotddnl(-tfrac1nr) =11-tfrac1ncdot1n^2,
derivada do denominador tfrac1n em relação a n é -tfrac1n^2.
Logo,
limntoinftyln(an) =limntoinfty 1n^2(1-tfrac1n)-1n^2 =limntoinfty-11-tfrac1n =-1

Passo 3

Como ln(an)to -1, temos
an =expl(ln(an)r) ;longrightarrow; exp(-1) =1e
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1-1nr)^n =1e

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