Q 16 Calcule os limites, envolvendo fatorações e indeterminação 0 / 0.
lim x 1 x^2-2 x+1x^3-1

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
limxto1x^2-2x+1x^3-1
Esse é um caso clássico de limite de função racional com indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar fatorações de polinômios para simplificar a expressão antes de substituir x=1.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=1:
numerador = 1^2-2cdot1+1 = 0, denominador = 1^3-1 = 0,
logo obtemos a forma tfrac00, que é indeterminada.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador separadamente.
O numerador é um quadrado perfeito:
x^2-2x+1 = (x-1)^2
O denominador é uma diferença de cubos:
x^3-1 = (x-1),(x^2+x+1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos
x^2-2x+1x^3-1 = (x-1)^2(x-1),(x^2+x+1) = x-1x^2+x+1,
onde simplificamos um fator (x-1), válido para xneq1.

Passo 5

Agora fazemos a substituição direta em x=1 na expressão simplificada:
limxto1x-1x^2+x+1 = 1-11^2+1+1 = 03 = 0

Resposta

0

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